Идея решения

Делаем замену и решаем квадратное уравнение — у него удобные корни. Потом смотрим на график разности модулей: это ступенька с двумя горизонтальными «полочками». Одно решение получается только на наклонном участке.

Шаг 1. Замена и корни

Пусть

\[t = |x - 8| - |x - a|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 - 7at + 10a^2 + 6a - 4 = 0.\]

Дискриминант:

\[D = 49a^2 - 4\left(10a^2 + 6a - 4\right),\]

\[D = 9a^2 - 24a + 16 = (3a - 4)^2.\]

Это полный квадрат, поэтому корни выражаются просто:

\[t = \frac{7a \pm (3a - 4)}{2},\]

\[t_1 = 5a - 2,\qquad t_2 = 2a + 2.\]

Важно! Если дискриминант оказался полным квадратом, всегда находите корни явно. Это превращает задачу с параметром в простые линейные неравенства.

Итак, исходное уравнение равносильно совокупности

\[|x - 8| - |x - a| = 5a - 2\]

или

\[|x - 8| - |x - a| = 2a + 2.\]

Шаг 2. Случай \(a = 8\)

Тогда \(t = |x - 8| - |x - 8| = 0\) при любом \(x\). Уравнения совокупности превращаются в \(0 = 38\) и \(0 = 18\) — решений нет. Значение \(a = 8\) не подходит.

Шаг 3. Случай \(a < 8\): график \(t\)

При \(x \leqslant a\): \(|x - 8| = 8 - x\), \(|x - a| = a - x\), и

\[t = 8 - x - a + x = 8 - a.\]

При \(a \leqslant x \leqslant 8\): \(|x - 8| = 8 - x\), \(|x - a| = x - a\), и

\[t = 8 - x - x + a = -2x + 8 + a.\]

При \(x \geqslant 8\): \(|x - 8| = x - 8\), \(|x - a| = x - a\), и

\[t = x - 8 - x + a = a - 8.\]

Слева полочка на высоте \(8 - a > 0\), справа полочка на высоте \(a - 8 < 0\), а между ними \(t\) строго убывает. Поэтому:

при \(a - 8 < t < 8 - a\) — ровно одно значение \(x\);

при \(t = 8 - a\) или \(t = a - 8\) — бесконечно много \(x\);

при остальных \(t\) — ни одного \(x\).

Шаг 4. Случай \(a < 8\): условия

Каждое уравнение совокупности даёт 0, 1 или бесконечно много решений. Ровно два решения будет, только если каждое уравнение даёт ровно одно решение и эти решения разные. Значит, оба числа \(t_1\) и \(t_2\) должны лежать строго между \(a - 8\) и \(8 - a\), и \(t_1 \ne t_2\).

Условие для \(t_1 = 5a - 2\):

\[a - 8 < 5a - 2 < 8 - a.\]

Левое неравенство: \(-6 < 4a\), то есть \(a > -\frac32\).

Правое неравенство: \(6a < 10\), то есть \(a < \frac53\).

Условие для \(t_2 = 2a + 2\):

\[a - 8 < 2a + 2 < 8 - a.\]

Левое неравенство: \(a > -10\).

Правое неравенство: \(3a < 6\), то есть \(a < 2\).

Пересекаем все четыре условия:

\[-\frac32 < a < \frac53.\]

Весь этот промежуток лежит в случае \(a < 8\).

Корни совпадают, когда

\[5a - 2 = 2a + 2,\]

\[a = \frac43.\]

Тогда оба уравнения совокупности одинаковые, и решение всего одно. Значение \(a = \frac43\) исключаем.

Важно! Совпадение корней \(t_1 = t_2\) — классическая ловушка. Два уравнения совокупности превращаются в одно, и решений становится вдвое меньше.

Шаг 5. Случай \(a > 8\)

Раскрываем модули так же. При \(x \leqslant 8\) получаем \(t = 8 - a < 0\), при \(8 \leqslant x \leqslant a\) получаем \(t = 2x - 8 - a\), при \(x \geqslant a\) получаем \(t = a - 8 > 0\).

Одно решение бывает только при \(8 - a < t < a - 8\). Проверим \(t_1 = 5a - 2\): нужно \(5a - 2 < a - 8\), то есть \(4a < -6\), \(a < -\frac32\). Это противоречит \(a > 8\). Значит, первое уравнение совокупности не даёт ровно одного решения, и двух решений в сумме не получится. Случай \(a > 8\) ничего не даёт.

Шаг 6. Ответ

\[a \in \left(-\frac32;\ \frac43\right) \cup \left(\frac43;\ \frac53\right).\]

Ответ: \(a \in \left(-\frac32;\ \frac43\right) \cup \left(\frac43;\ \frac53\right)\)