Идея решения

Одно выражение повторяется дважды — делаем замену. Потом раскрываем модули и смотрим, сколько \(x\) даёт одно значение новой переменной. Вид графика зависит от знака \(a\), поэтому будет два случая.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = 7x + |x + a| - |6x|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 + (a+1)t - (a+1) = 0.\]

Обозначим левую часть \(f(t)\). Её дискриминант

\[D = (a+1)^2 + 4(a+1),\]

\[D = (a+1)(a+5).\]

Шаг 2. Случай \(a \geqslant 0\)

Модули меняют знак в точках \(x = -a\) и \(x = 0\). При \(a \geqslant 0\) точка \(-a\) не правее нуля.

При \(x \leqslant -a\): \(|x + a| = -x - a\), \(|6x| = -6x\), и

\[t = 7x - x - a + 6x = 12x - a.\]

При \(-a \leqslant x \leqslant 0\): \(|x + a| = x + a\), \(|6x| = -6x\), и

\[t = 7x + x + a + 6x = 14x + a.\]

При \(x \geqslant 0\): \(|x + a| = x + a\), \(|6x| = 6x\), и

\[t = 7x + x + a - 6x = 2x + a.\]

(При \(a = 0\) средний участок сжимается в точку, остальное не меняется.)

У всех трёх участков угловой коэффициент положительный (\(12\), \(14\), \(2\)), и они стыкуются без разрывов. Значит, \(t\) строго возрастает на всей прямой и принимает каждое значение ровно один раз: каждое \(t\) даёт ровно одно \(x\).

Поэтому два решения будут, когда у \(f(t)\) два различных корня:

\[(a+1)(a+5) > 0.\]

При \(a \geqslant 0\) обе скобки положительны, неравенство верно. Все \(a \geqslant 0\) подходят.

Шаг 3. Случай \(a < 0\): раскрываем модули

Теперь \(-a > 0\), и нуль левее точки \(-a\).

При \(x \leqslant 0\): \(|x + a| = -x - a\), \(|6x| = -6x\), и

\[t = 7x - x - a + 6x = 12x - a.\]

При \(0 \leqslant x \leqslant -a\): \(|x + a| = -x - a\), \(|6x| = 6x\), и

\[t = 7x - x - a - 6x = -a.\]

При \(x \geqslant -a\): \(|x + a| = x + a\), \(|6x| = 6x\), и

\[t = 7x + x + a - 6x = 2x + a.\]

Появилась горизонтальная «полочка» \(t = -a\) на отрезке \([0;\ -a]\). Слева от неё \(t\) возрастает от \(-\infty\) до \(-a\), справа — от \(-a\) до \(+\infty\). Поэтому:

при \(t \ne -a\) — ровно одно значение \(x\);

при \(t = -a\) — бесконечно много \(x\).

Важно! Вид графика зависит от знака \(a\), потому что от него зависит, какая из точек \(-a\) и \(0\) левее. Рассмотреть только один случай — значит потерять часть ответа.

Шаг 4. Случай \(a < 0\): условия

Нужно, чтобы \(f(t)\) имел два различных корня и ни один из них не был равен \(-a\).

Два различных корня:

\[(a+1)(a+5) > 0,\]

\[a < -5\ \text{ или }\ a > -1.\]

Корень не равен \(-a\). Подставим \(t = -a\):

\[f(-a) = a^2 - (a+1)a - a - 1,\]

\[f(-a) = -2a - 1.\]

Условие \(f(-a) \ne 0\) даёт

\[a \ne -\frac12.\]

Вместе с \(a < 0\):

\[a \in (-\infty;\ -5) \cup \left(-1;\ -\frac12\right) \cup\]

\[\cup \left(-\frac12;\ 0\right).\]

Важно! При \(a = -\frac12\) уравнение \(t^2 + \frac12 t - \frac12 = 0\) имеет корни \(\frac12\) и \(-1\). Корень \(t = \frac12 = -a\) попадает на полочку и даёт бесконечно много решений. Если забыть это условие, ответ будет неверным.

Шаг 5. Ответ

Объединяем случаи \(a \geqslant 0\) и \(a < 0\):

\[a \in (-\infty;\ -5) \cup \left(-1;\ -\frac12\right) \cup\]

\[\cup \left(-\frac12;\ +\infty\right).\]

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -5) \cup \left(-1;\ -\frac12\right) \cup \left(-\frac12;\ +\infty\right)\)