Идея решения

Сумма модулей встречается дважды — делаем замену, получаем квадратное уравнение. Затем выясняем, сколько \(x\) даёт каждое значение новой переменной: здесь это два, бесконечно много или ни одного.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = \left|x + a^2\right| + |x - 1|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 - 8t + a^2 - 17 = 0.\]

Шаг 2. Раскрываем модули в \(t\)

Модули меняют знак в точках \(x = -a^2\) и \(x = 1\). Так как \(-a^2 \leqslant 0 < 1\), точка \(-a^2\) всегда левее единицы.

При \(x \leqslant -a^2\) оба модуля раскрываются с минусом:

\[t = -x - a^2 - x + 1,\]

\[t = -2x + 1 - a^2.\]

При \(-a^2 \leqslant x \leqslant 1\):

\[t = x + a^2 - x + 1,\]

\[t = 1 + a^2.\]

При \(x \geqslant 1\) оба модуля с плюсом:

\[t = x + a^2 + x - 1,\]

\[t = 2x - 1 + a^2.\]

Шаг 3. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)

График \(t\) от \(x\) — «корыто» с плоским дном на высоте \(1 + a^2\):

Левая часть убывает от \(+\infty\) до \(1 + a^2\), дно занимает отрезок \(\left[-a^2;\ 1\right]\), правая часть возрастает от \(1 + a^2\) до \(+\infty\). Поэтому:

при \(t > 1 + a^2\) — ровно два значения \(x\);

при \(t = 1 + a^2\) — бесконечно много \(x\);

при \(t < 1 + a^2\) — ни одного \(x\).

Важно! Высота дна здесь зависит от параметра: это не число, а \(1 + a^2\). Сравнивать корни квадратного уравнения нужно именно с \(1 + a^2\).

Шаг 4. Условия на квадратное уравнение

Пусть \(f(t) = t^2 - 8t + a^2 - 17\). Корень больше \(1 + a^2\) даёт два решения, корень, равный \(1 + a^2\), — бесконечно много, корень меньше \(1 + a^2\) — ни одного. Значит, нужен ровно один корень больше \(1 + a^2\) и ни одного корня, равного \(1 + a^2\).

Это возможно в двух вариантах:

1) корней два, и число \(1 + a^2\) лежит строго между ними;

2) корень один (двойной), и он больше \(1 + a^2\).

Важно! Если оба корня больше \(1 + a^2\), решений будет четыре. Поэтому нужно именно «число между корнями», а не «корни больше числа».

Шаг 5. Вариант 1: \(1 + a^2\) между корнями

Ветви параболы \(f(t)\) направлены вверх, поэтому число \(1 + a^2\) лежит строго между корнями, когда \(f\left(1 + a^2\right) < 0\):

Подставим \(t = 1 + a^2\) и раскроем скобки:

\[\left(1 + a^2\right)^2 - 8\left(1 + a^2\right) + a^2 - 17 < 0,\]

\[1 + 2a^2 + a^4 - 8 - 8a^2 +\]

\[+\ a^2 - 17 < 0,\]

\[a^4 - 5a^2 - 24 < 0.\]

Это квадратное неравенство относительно \(a^2\). Корни трёхчлена \(u^2 - 5u - 24\) — это \(u = 8\) и \(u = -3\), поэтому

\[\left(a^2 - 8\right)\left(a^2 + 3\right) < 0.\]

Вторая скобка всегда положительна, значит,

\[a^2 < 8,\]

\[-2\sqrt2 < a < 2\sqrt2.\]

При \(f\left(1 + a^2\right) < 0\) корней автоматически два, и ни один не равен \(1 + a^2\).

Шаг 6. Вариант 2: один корень

Корень один, когда дискриминант равен нулю:

\[\frac{D}{4} = 16 - \left(a^2 - 17\right) = 0,\]

\[a^2 = 33.\]

Тогда единственный корень \(t_0 = 4\), а дно находится на высоте

\[1 + a^2 = 34.\]

Корень \(4 < 34\) — решений нет. Этот вариант ничего не даёт.

Важно! Концы \(a = \pm 2\sqrt2\) не входят: при них \(f\left(1 + a^2\right) = 0\), то есть \(t = 1 + a^2\) — корень, и решений бесконечно много.

Шаг 7. Ответ

\[a \in \left(-2\sqrt2;\ 2\sqrt2\right).\]

Ответ: \(a \in \left(-2\sqrt2;\ 2\sqrt2\right)\)