Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\[a\left(x - \frac{9}{x}\right)^2 - 2\left(x - \frac{9}{x}\right) -\]
\[-\ 49a + 18 = 0\]
имеет ровно два различных решения.
Идея решения
Выражение \(x - \frac{9}{x}\) встречается дважды — заменяем его новой буквой. Дальше главный вопрос: сколько значений \(x\) даёт одно значение новой переменной. Здесь ответ неожиданно простой — всегда два.
Шаг 1. Замена
Пусть
\[t = x - \frac{9}{x}.\]
Уравнение принимает вид
\[at^2 - 2t - 49a + 18 = 0.\]
Шаг 2. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)
Зафиксируем число \(t\) и решим относительно \(x\) уравнение
\[x - \frac{9}{x} = t.\]
Умножим на \(x \ne 0\):
\[x^2 - 9 = tx,\]
\[x^2 - tx - 9 = 0.\]
Его дискриминант
\[D = t^2 + 36 > 0\]
при любом \(t\). Значит, корней всегда два, и они различны. Оба корня не равны нулю: при \(x = 0\) левая часть равна \(-9\), а не \(0\). Поэтому оба годятся для исходного уравнения.
На рисунке это видно так: любая горизонтальная прямая \(t = t_0\) пересекает график \(t = x - \frac{9}{x}\) ровно в двух точках — по одной на каждой ветви.
Кроме того, разным \(t\) соответствуют разные \(x\): одно и то же \(x\) не может дать два разных значения выражения \(x - \frac{9}{x}\).
Важно! Вывод «каждое \(t\) даёт ровно два \(x\)» обязательно нужно обосновать (дискриминант и проверка \(x \ne 0\)). Без этого решение считается неполным.
Шаг 3. Что нужно от уравнения относительно \(t\)
Каждый корень \(t\) даёт два решения \(x\). Ровно два решения получатся, только если уравнение
\[at^2 - 2t - 49a + 18 = 0\]
имеет ровно один корень. Если корней два — решений будет четыре, если ни одного — решений нет.
Шаг 4. Случай \(a = 0\)
Важно! При \(a = 0\) уравнение перестаёт быть квадратным. Этот случай разбирают отдельно, и его часто теряют.
При \(a = 0\) получаем линейное уравнение:
\[-2t + 18 = 0,\]
\[t = 9.\]
Корень ровно один — значит, \(a = 0\) подходит.
Шаг 5. Случай \(a \ne 0\)
Уравнение квадратное. Один корень у него бывает, когда дискриминант равен нулю. Удобно считать четверть дискриминанта:
\[\frac{D}{4} = 1 - a(-49a + 18),\]
\[\frac{D}{4} = 49a^2 - 18a + 1.\]
Приравниваем к нулю:
\[49a^2 - 18a + 1 = 0.\]
Решаем это уравнение относительно \(a\):
\[\frac{D_a}{4} = 81 - 49 = 32,\]
\[a = \frac{9 \pm \sqrt{32}}{49},\]
\[a = \frac{9 \pm 4\sqrt2}{49}.\]
Оба значения не равны нулю, так что условие \(a \ne 0\) выполнено. При них уравнение имеет один корень \(t_0 = \frac{1}{a}\), и он даёт два решения \(x\).
Шаг 6. Ответ
\[a \in \left\{0;\ \frac{9 - 4\sqrt2}{49};\ \frac{9 + 4\sqrt2}{49}\right\}.\]
Ответ: \(a \in \left\{0;\ \frac{9 - 4\sqrt2}{49};\ \frac{9 + 4\sqrt2}{49}\right\}\)