Идея решения

Сумма модулей встречается дважды — делаем замену, и уравнение становится квадратным. Главное — понять, сколько решений \(x\) даёт каждое значение новой переменной. Здесь ответ другой, чем обычно: одно значение даёт два решения, бесконечно много или ни одного.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = |x - a - 2| + |x - a + 2|.\]

Уравнение принимает вид

\[t^2 - at + a^2 - 48 = 0.\]

Шаг 2. Раскрываем модули в \(t\)

Модули меняют знак в точках \(x = a + 2\) и \(x = a - 2\), причём \(a - 2 < a + 2\) при любом \(a\).

При \(x \leqslant a - 2\) оба модуля раскрываются с минусом:

\[t = -(x - a - 2) - (x - a + 2),\]

\[t = -2x + 2a.\]

При \(a - 2 \leqslant x \leqslant a + 2\):

\[t = -(x - a - 2) + (x - a + 2),\]

\[t = 4.\]

При \(x \geqslant a + 2\) оба модуля с плюсом:

\[t = (x - a - 2) + (x - a + 2),\]

\[t = 2x - 2a.\]

Шаг 3. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)

График \(t\) от \(x\) похож на корыто с плоским дном на высоте \(4\):

Левая часть убывает от \(+\infty\) до \(4\), дно \(t = 4\) занимает отрезок \([a-2;\ a+2]\), правая часть возрастает от \(4\) до \(+\infty\). Поэтому:

при \(t > 4\) — ровно два значения \(x\) (по одному на каждой части);

при \(t = 4\) — бесконечно много \(x\);

при \(t < 4\) — ни одного \(x\).

Важно! То, что \(t \geqslant 4\), видно и без раскрытия модулей: \(t\) — это сумма расстояний от точки \(x\) до точек \(a+2\) и \(a-2\) на числовой прямой. Она не меньше расстояния между этими точками, то есть \(4\).

Шаг 4. Условия на квадратное уравнение

Пусть \(g(t) = t^2 - at + a^2 - 48\). Каждый корень \(t > 4\) даёт два решения \(x\), корень \(t = 4\) — бесконечно много, корень \(t < 4\) — ни одного. Ровно два решения получаются, только если у \(g(t)\) ровно один корень больше 4 и нет корня, равного 4.

Возможны два варианта:

1) корней два, и число \(4\) лежит строго между ними;

2) корень один (двойной), и он больше \(4\).

Важно! Если оба корня больше \(4\), решений будет четыре, а не два. Поэтому условие «\(D > 0\) и корни больше 4» здесь не годится.

Шаг 5. Вариант 1: число 4 между корнями

Ветви параболы \(g(t)\) направлены вверх. Число \(4\) лежит строго между корнями тогда и только тогда, когда \(g(4) < 0\):

\[16 - 4a + a^2 - 48 < 0,\]

\[a^2 - 4a - 32 < 0,\]

\[(a + 4)(a - 8) < 0,\]

\[-4 < a < 8.\]

При \(g(4) < 0\) дискриминант автоматически положителен, и ни один корень не равен \(4\). Проверять отдельно ничего не нужно.

Шаг 6. Вариант 2: один корень

Корень один, когда \(D = 0\):

\[a^2 - 4\left(a^2 - 48\right) = 0,\]

\[192 - 3a^2 = 0,\]

\[a^2 = 64,\quad a = \pm 8.\]

Этот корень равен \(t_0 = \frac{a}{2}\).

При \(a = 8\): \(t_0 = 4\) — бесконечно много решений, не подходит.

При \(a = -8\): \(t_0 = -4 < 4\) — решений нет, не подходит.

Важно! Концы \(a = -4\) и \(a = 8\) не входят в ответ: при них \(g(4) = 0\), то есть \(t = 4\) — корень, и решений бесконечно много.

Шаг 7. Ответ

\[a \in (-4;\ 8).\]

Ответ: \(a\in (-4;\ 8)\)