Идея решения

Одно и то же громоздкое выражение встречается дважды. Обозначим его новой буквой — и уравнение станет квадратным. Дальше нужно понять, сколько значений \(x\) даёт каждый корень квадратного уравнения.

Шаг 1. Замена

Пусть

\[t = 4x - 3\left|x + a^2\right| +\]

\[+\ |x - 1| + 3a^2.\]

Тогда уравнение принимает вид

\[t^2 - (a+1)t + 4 = 0.\]

Шаг 2. Раскрываем модули в \(t\)

Модули меняют знак в точках \(x = -a^2\) и \(x = 1\). Так как \(-a^2 \leqslant 0 < 1\), точка \(-a^2\) всегда левее единицы — при любом \(a\).

При \(x \leqslant -a^2\): \(\left|x + a^2\right| = -x - a^2\), \(|x - 1| = 1 - x\), и

\[t = 4x + 3x + 3a^2 + 1 - x + 3a^2,\]

\[t = 6x + 6a^2 + 1.\]

При \(-a^2 \leqslant x \leqslant 1\): \(\left|x + a^2\right| = x + a^2\), \(|x - 1| = 1 - x\), и

\[t = 4x - 3x - 3a^2 + 1 - x + 3a^2,\]

\[t = 1.\]

При \(x \geqslant 1\): \(\left|x + a^2\right| = x + a^2\), \(|x - 1| = x - 1\), и

\[t = 4x - 3x - 3a^2 + x - 1 + 3a^2,\]

\[t = 2x - 1.\]

Важно! Раскрывая модуль со знаком «минус» перед ним, меняйте знаки у всех слагаемых внутри: \(-3\left(-x - a^2\right) = 3x + 3a^2\). Одна пропущенная смена знака — и «полочка» \(t = 1\) не получится.

Шаг 3. Сколько \(x\) даёт одно значение \(t\)

Нарисуем график \(t\) как функции от \(x\):

Левая часть графика возрастает от \(-\infty\) до \(1\), потом идёт горизонтальная «полочка» \(t = 1\) на отрезке \(\left[-a^2;\ 1\right]\), потом правая часть возрастает от \(1\) до \(+\infty\). Поэтому:

при \(t < 1\) — ровно одно значение \(x\) (на левой части);

при \(t > 1\) — ровно одно значение \(x\) (на правой части);

при \(t = 1\) — бесконечно много \(x\): весь отрезок \(\left[-a^2;\ 1\right]\).

Шаг 4. Условия на квадратное уравнение

Каждый корень \(t \ne 1\) даёт ровно одно решение \(x\), причём разные \(t\) дают разные \(x\). Корень \(t = 1\) даёт бесконечно много решений. Поэтому исходное уравнение имеет ровно два решения, когда уравнение

\[t^2 - (a+1)t + 4 = 0\]

имеет два различных корня и ни один из них не равен 1.

Важно! Если забыть про корень \(t = 1\), в ответ попадёт \(a = 4\). Но при \(a = 4\) уравнение \(t^2 - 5t + 4 = 0\) имеет корни \(1\) и \(4\), и исходное уравнение получает бесконечно много решений.

Шаг 5. Два различных корня

\[D = (a+1)^2 - 16 > 0,\]

\[(a + 1 - 4)(a + 1 + 4) > 0,\]

\[(a - 3)(a + 5) > 0.\]

Отсюда

\[a < -5 \ \text{ или }\ a > 3.\]

Шаг 6. Корень не равен 1

Подставим \(t = 1\):

\[1 - (a+1) + 4 \ne 0,\]

\[4 - a \ne 0,\]

\[a \ne 4.\]

Шаг 7. Ответ

Объединяем условия шагов 5 и 6:

\[a \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ 4) \cup\]

\[\cup\ (4;\ +\infty).\]

Важно! Концы \(a = -5\) и \(a = 3\) не входят: при них дискриминант равен нулю, корень один, и решение \(x\) тоже одно.

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ 4) \cup (4;\ +\infty)\)