Идея решения

Посмотрите, как в систему входит \(x\): только через \(|x|\) и \(x^2\). А \(|-x| = |x|\) и \((-x)^2 = x^2\). Значит, если заменить \(x\) на \(-x\), система не изменится. Такая симметрия — главный ключ к задаче: она сразу подсказывает, где может находиться единственное решение.

Шаг 1. Решения ходят парами

Пусть пара \((x_0;\ y_0)\) — решение системы. Подставим вместо \(x_0\) число \(-x_0\). Модуль и квадрат не меняются:

\[\left|-x_0\right| = \left|x_0\right|,\]

\[\left(-x_0\right)^2 = x_0^2.\]

Поэтому оба уравнения снова верны, то есть \((-x_0;\ y_0)\) — тоже решение.

Если \(x_0 \ne 0\), то это другая пара, и решений уже как минимум два. Значит, единственное решение может быть только таким, у которого

\[x_0 = 0.\]

Важно! Это только необходимое условие. Мы доказали: «если решение единственное, то у него \(x = 0\)». Обратное не доказано! Найденные значения \(a\) обязательно нужно проверить — без проверки ставят не больше одного балла.

Шаг 2. Находим кандидатов для \(a\)

Подставим \(x = 0\) в систему. Так как \(2^0 = 1\), первое уравнение даёт

\[5 + 0 + 7 = 5y + 0 - a,\]

\[12 = 5y - a.\]

Второе уравнение даёт \(y^2 = 1\), то есть \(y = 1\) или \(y = -1\).

При \(y = 1\):

\[12 = 5 - a,\]

\[a = -7.\]

При \(y = -1\):

\[12 = -5 - a,\]

\[a = -17.\]

Других значений \(a\) быть не может. Осталось проверить каждое из двух.

Шаг 3. Выражаем \(y\) из первого уравнения

Для проверки удобно выразить \(y\). Переносим всё, кроме \(5y\), вправо:

\[5y = 5\cdot 2^{|x|} + 6|x| -\]

\[-\ 6x^2 + 7 + a.\]

Делим на 5:

\[y = 2^{|x|} + \frac{6}{5}\left(|x| - x^2\right) +\]

\[+\ \frac{7+a}{5}.\]

Это график первого уравнения. Второе уравнение — окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На ней \(x\) меняется только от \(-1\) до \(1\), а \(y \leqslant 1\).

Шаг 4. Проверка \(a = -17\)

Здесь \(\frac{7+a}{5} = \frac{-10}{5} = -2\), поэтому

\[y = 2^{|x|} + \frac{6}{5}\left(|x| - x^2\right) - 2.\]

Попробуем \(x = 1\):

\[y = 2 + \frac{6}{5}(1 - 1) - 2 = 0.\]

Точка \((1;\ 0)\) лежит и на окружности: \(1^2 + 0^2 = 1\). По симметрии решением будет и \((-1;\ 0)\). Вместе с \((0;\ -1)\) это уже три решения.

Значит, \(a = -17\) не подходит.

Важно! Чтобы отбросить значение параметра, достаточно предъявить хотя бы одно «лишнее» решение. Ищите его среди простых точек окружности: \((\pm 1;\ 0)\), \((0;\ \pm 1)\).

Шаг 5. Проверка \(a = -7\)

Здесь \(\frac{7+a}{5} = 0\), поэтому

\[y = 2^{|x|} + \frac{6}{5}\left(|x| - x^2\right).\]

При \(x = 0\) получаем \(y = 1\) — это решение \((0;\ 1)\). Докажем, что других нет.

Общие точки с окружностью могут быть только при \(|x| \leqslant 1\). Возьмём \(0 < |x| \leqslant 1\) и оценим каждое слагаемое.

Первое слагаемое: так как \(|x| > 0\), то

\[2^{|x|} > 2^0 = 1.\]

Второе слагаемое: так как \(|x| \leqslant 1\), то \(x^2 = |x|\cdot|x| \leqslant |x|\), и

\[|x| - x^2 \geqslant 0.\]

Складываем: при \(0 < |x| \leqslant 1\)

\[y > 1 + 0 = 1.\]

А на окружности всегда \(y \leqslant 1\), ведь \(y^2 = 1 - x^2 \leqslant 1\). Значит, при \(x \ne 0\) график первого уравнения проходит выше окружности и общих точек с ней не имеет.

При \(x = 0\) первое уравнение даёт только \(y = 1\), поэтому точка \((0;\ -1)\) не подходит. Единственное решение — \((0;\ 1)\).

Значит, \(a = -7\) подходит.

Важно! Утверждение «график выше окружности» нужно доказать оценкой, как в этом шаге. Ссылка только на рисунок доказательством не считается.

Шаг 6. Ответ

Из двух кандидатов подошёл только один:

\[a = -7.\]

Ответ: \(a = -7\)