Идея решения

Уравнение раскладывается на множители, после чего каждый множитель превращается в линию на плоскости \(xOa\) (по горизонтали \(x\), по вертикали \(a\)). Фиксировать параметр — значит провести горизонтальную прямую \(a = \text{const}\), а корни уравнения — это точки её встречи с нарисованными линиями.

Шаг 1. Переносим всё влево

Раскроем скобки с параметром и перенесём правую часть налево:

\[x^4 - x^3 - 3x^2 - x + ax^2 + ax -\]

\[-\ 3x^3 + 3x^2 + 9x + 3 -\]

\[-\ 3ax - 3a = 0.\]

Приведём подобные:

\[x^4 - 4x^3 + 8x + 3 +\]

\[+\ a\left(x^2 - 2x - 3\right) = 0.\]

Шаг 2. Выносим общий множитель

Скобка при параметре раскладывается легко:

\[x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3).\]

А многочлен без параметра проверим на корень \(x = -1\):

\[1 + 4 - 8 + 3 = 0,\]

значит \(x + 1\) делит и его. Делением получаем

\[x^4 - 4x^3 + 8x + 3 =\]

\[= (x+1)\left(x^3 - 5x^2 + 5x + 3\right).\]

Теперь \(x + 1\) выносится из всего уравнения:

\[(x+1)\cdot Q = 0,\]

где

\[Q = x^3 - 5x^2 + 5x + 3 + a(x-3).\]

Шаг 3. Раскладываем вторую скобку

В кубическом многочлене из \(Q\) подставим \(x = 3\):

\[27 - 45 + 15 + 3 = 0,\]

значит он делится на \(x - 3\):

\[x^3 - 5x^2 + 5x + 3 =\]

\[= (x-3)\left(x^2 - 2x - 1\right).\]

Подставляем и выносим \(x - 3\):

\[(x+1)(x-3)\left(x^2-2x-1+a\right)=0.\]

Важно! Подбирая корень многочлена, пробуйте делители свободного члена — здесь это \(\pm 1\) и \(\pm 3\). И обязательно раскройте скобки в конце: разложение, в котором потеряно одно слагаемое, обнуляет всё дальнейшее решение.

Шаг 4. Три линии на плоскости \(xOa\)

Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей:

\[x = -1,\]

\[x = 3,\]

\[a = -x^2 + 2x + 1.\]

Получились две вертикальные прямые и парабола ветвями вниз.

Вершина параболы:

\[x_0 = \frac{-2}{2\cdot(-1)} = 1,\]

\[a_0 = -1 + 2 + 1 = 2,\]

то есть вершина в точке \((1;\ 2)\).

Где парабола встречает вертикальные прямые:

\[x = -1: \quad a = -1 - 2 + 1 = -2,\]

\[x = 3: \quad a = -9 + 6 + 1 = -2.\]

Обе точки оказались на одной высоте \(a = -2\) — это и есть ключ к задаче.

Шаг 5. Ведём горизонталь снизу вверх

Прямые \(x = -1\) и \(x = 3\) дают два корня всегда, при любом \(a\). Значит, вопрос только в том, добавляет парабола что-то новое или нет.

При \(a < -2\) горизонталь пересекает параболу в двух точках, и обе лежат вне отрезка \([-1;\ 3]\), то есть отличаются от \(-1\) и \(3\): всего четыре корня. Не подходит.

Положение I: \(a = -2\). Горизонталь проходит ровно через обе точки, где парабола встречает вертикальные прямые:

\[x \in \{-1;\ 3\},\]

то есть два корня. Подходит!

При \(-2 < a < 2\) парабола даёт две точки строго между \(-1\) и \(3\), и они новые: всего четыре корня. Не подходит.

Положение II: \(a = 2\). Горизонталь проходит через вершину параболы, та даёт один новый корень \(x = 1\):

\[x \in \{-1;\ 1;\ 3\},\]

то есть три корня — не подходит.

При \(a > 2\) горизонталь проходит выше вершины и параболу не задевает вовсе. Остаются только

\[x \in \{-1;\ 3\},\]

то есть два корня. Подходит!

Важно! Случай \(a = -2\) легко проглядеть: там парабола пересекает горизонталь, но в тех же самых точках, что и прямые, — новых корней не появляется. Всегда отдельно проверяйте высоту, на которой линии пересекаются друг с другом.

Шаг 6. Собираем ответ

Ровно два корня получаются при \(a = -2\) и при \(a > 2\):

\[a \in \{-2\} \cup (2;\ +\infty).\]

Важно! Значение \(a = 2\) в ответ не входит — там корней три. А вот изолированную точку \(a = -2\) обязательно нужно выписать: без неё ответ неполный.

Ответ: \(a \in \{-2\} \cup (2;\ +\infty)\)