Идея решения

Посмотрите на уравнение внимательно: \(a\) входит в него во второй степени, в первой и в нулевой. Значит, это обычный квадратный трёхчлен относительно \(a\), у которого коэффициенты зависят от \(x\). Такой трёхчлен раскладывается на множители, и дальше работаем в плоскости \(xOa\): по горизонтали \(x\), по вертикали \(a\).

Шаг 1. Готовим свободный член

Заметим, что

\[x^4 - 2x^2 + 1 = \left(x^2-1\right)^2.\]

Уравнение принимает вид

\[(x-1)a^2 - x\left(x^2-1\right)a +\]

\[+\ \left(x^2-1\right)^2 = 0.\]

Шаг 2. Выносим множитель \(x - 1\)

Используем \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\):

\[x\left(x^2-1\right) = (x-1)\left(x^2+x\right),\]

\[\left(x^2-1\right)^2 = (x-1)\left(x^2-1\right)(x+1).\]

Теперь \(x - 1\) есть в каждом слагаемом:

\[(x-1)\cdot T = 0,\]

где

\[T = a^2 - \left(x^2+x\right)a +\]

\[+\ \left(x^2-1\right)(x+1).\]

Шаг 3. Раскладываем скобку по теореме Виета

Выражение \(T\) — квадратный трёхчлен относительно \(a\). Его корни \(a_1\) и \(a_2\) должны давать

\[a_1 + a_2 = x^2 + x,\]

\[a_1 \cdot a_2 = \left(x^2-1\right)(x+1).\]

Подбираем: возьмём \(a_1 = x^2 - 1\) и \(a_2 = x + 1\). Сумма даёт \(x^2 + x\) — верно. Произведение даёт \(\left(x^2-1\right)(x+1)\) — тоже верно. Значит

\[(x-1)\left(a-x^2+1\right)(a-x-1)=0.\]

Важно! Подбор по Виету — это гипотеза, а не доказательство. Обязательно раскройте скобки и убедитесь, что получилось исходное уравнение. На экзамене за «угаданное, но не проверенное» разложение баллы снимают.

Шаг 4. Три линии на плоскости \(xOa\)

Произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей:

\[x = 1,\]

\[a = x^2 - 1,\]

\[a = x + 1.\]

Это вертикальная прямая, парабола с вершиной \((0;\ -1)\) и наклонная прямая.

Найдём точки, где линии встречаются.

Прямая \(x = 1\) и парабола: \(a = 1 - 1 = 0\), то есть точка \((1;\ 0)\).

Прямая \(x = 1\) и наклонная прямая: \(a = 1 + 1 = 2\), то есть точка \((1;\ 2)\).

Парабола и наклонная прямая:

\[x^2 - 1 = x + 1,\]

\[x^2 - x - 2 = 0,\]

\[x = -1 \ \text{ или } \ x = 2.\]

Это точки \((-1;\ 0)\) и \((2;\ 3)\).

Шаг 5. Ведём горизонталь снизу вверх

Берём прямую \(a = \text{const}\) и считаем различные значения \(x\).

При \(a < -1\) парабола лежит выше горизонтали целиком (её наименьшее значение равно \(-1\)). Остаются

\[x = a - 1 \quad (\text{из } a = x+1)\]

и \(x = 1\).

Так как \(a < -1\), имеем \(a - 1 < -2 \neq 1\) — два разных корня. Подходит!

Положение I: \(a = -1\). Горизонталь касается вершины параболы при \(x = 0\), наклонная прямая даёт \(x = -2\), вертикальная — \(x = 1\):

\[x \in \{-2;\ 0;\ 1\},\]

то есть три корня — не подходит.

При \(-1 < a < 0\) парабола даёт уже две точки, наклонная прямая одну, вертикальная одну — четыре корня.

Положение II: \(a = 0\). Парабола даёт \(x = \pm 1\), наклонная прямая даёт \(x = -1\), вертикальная даёт \(x = 1\). Совпадения склеивают всё в два значения:

\[x \in \{-1;\ 1\},\]

то есть два корня. Подходит!

При \(0 < a < 2\) снова четыре разных корня.

Положение III: \(a = 2\). Горизонталь проходит через точку \((1;\ 2)\), где наклонная прямая пересекает вертикальную:

\[x \in \left\{-\sqrt{3};\ 1;\ \sqrt{3}\right\},\]

то есть три корня.

При \(2 < a < 3\) — четыре корня.

Положение IV: \(a = 3\). Горизонталь проходит через точку \((2;\ 3)\), где парабола встречается с наклонной прямой:

\[x \in \{-2;\ 1;\ 2\},\]

то есть три корня.

При \(a > 3\) — четыре корня, и дальше ничего уже не изменится.

Важно! Обратите внимание на положения III и IV: там корней три, а не два. Совпадение двух линий убирает один корень, а нужно, чтобы линий осталось ровно две. Именно поэтому в ответ попадают только \(a < -1\) и \(a = 0\).

Шаг 6. Собираем ответ

\[a \in (-\infty;\ -1) \cup \{0\}.\]

Важно! Изолированная точка \(a = 0\) — не «мелочь», а половина ответа. Такие одиночные значения в №18 встречаются постоянно: они появляются ровно там, где несколько линий проходят через одну точку.

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -1) \cup \{0\}\)