Идея решения

Здесь \(x\) и \(a\) перемешаны, и «выражать \(a\) через \(x\)» напрямую не выйдет. Но уравнение раскладывается на множители. А когда уравнение разложено, его удобно читать не на привычной плоскости \(xOy\), а на плоскости \(xOa\): по горизонтали \(x\), по вертикали \(a\).

Тогда каждый множитель задаёт свою линию, а фиксировать значение параметра — значит провести горизонтальную прямую \(a = \text{const}\). Сколько раз эта прямая встретит нарисованные линии, столько и решений.

Шаг 1. Переносим всё в левую часть

Перенесём правую часть налево:

\[ax^4 - ax^3 - x^3 + x^2 +\]

\[+\ a^3x^2 - a^3x - ax^2 + ax -\]

\[-\ a^2x + x + a^2 - 1 = 0.\]

Шаг 2. Группируем

Сгруппируем слагаемые парами так, чтобы в каждой паре вылез множитель \(x - 1\):

\[ax^3(x-1) - x^2(x-1) +\]

\[+\ a^3x(x-1) - ax(x-1) -\]

\[-\ \left(a^2-1\right)(x-1) = 0.\]

Выносим \(x - 1\):

\[(x-1)\cdot S = 0,\]

где

\[S = ax^3 - x^2 + a^3x - ax - a^2 + 1.\]

В выражении \(S\) снова группируем — теперь выделяем множитель \(ax - 1\):

\[S = x^2(ax-1) + \left(a^2-1\right)(ax-1),\]

то есть вся левая часть равна

\[(x-1)(ax-1)\left(x^2 + a^2 - 1\right) = 0.\]

Важно! Разложение обязательно проверяйте обратным раскрытием скобок. Одна потерянная степень — и дальше всё решение уходит в пустоту, а баллов за него не будет вовсе.

Шаг 3. Три линии на плоскости \(xOa\)

Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель:

\[x = 1,\]

\[ax = 1,\]

\[x^2 + a^2 = 1.\]

Разберём каждое условие.

Первое — вертикальная прямая \(x = 1\).

Второе: если \(x = 0\), получилось бы \(0 = 1\) — неверно. Значит \(x \neq 0\), и можно поделить:

\[a = \frac{1}{x}.\]

Это гипербола в первой и третьей четвертях.

Третье — окружность с центром в начале координат и радиусом \(1\).

Важно! Из \(ax = 1\) нельзя писать \(x = \frac{1}{a}\) не задумываясь: при \(a = 0\) такого \(x\) вообще нет. А вот выразить \(a\) через \(x\) можно всегда — потому в плоскости \(xOa\) и работают именно так. Это типовая ловушка №18.

Шаг 4. Рисуем и находим узлы

Прямая \(x = 1\) и гипербола встречаются при \(x = 1\), то есть в точке \((1;\ 1)\).

Прямая \(x = 1\) и окружность: подставим \(x = 1\) в уравнение окружности:

\[1 + a^2 = 1, \qquad a = 0.\]

Получаем точку \((1;\ 0)\).

Гипербола и окружность не пересекаются вовсе: на гиперболе

\[x^2 + a^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} \geqslant 2 > 1.\]

Шаг 5. Ведём горизонталь снизу вверх

Теперь берём прямую \(a = \text{const}\) и считаем, сколько различных значений \(x\) она даёт.

При \(a < -1\) окружность горизонталью не задета (её высота не выходит за \(\pm 1\)). Остаются гипербола и прямая \(x = 1\):

\[x = \frac{1}{a} \in (-1;\ 0)\]

и \(x = 1\).

Это два разных корня — подходит.

Положение I: \(a = -1\). Горизонталь касается окружности в точке \((0;-1)\), задевает гиперболу при \(x = -1\) и прямую при \(x = 1\):

\[x \in \{-1;\ 0;\ 1\},\]

то есть три корня — не подходит.

При \(-1 < a < 0\) окружность даёт уже две точки, гипербола одну, прямая одну — всего четыре корня, не подходит.

Положение II: \(a = 0\). Гипербола высоты \(0\) не достигает, зато окружность даёт \(x = \pm 1\), а прямая — \(x = 1\), которая совпадает с одной из них:

\[x \in \{-1;\ 1\},\]

то есть два корня. Подходит!

При \(0 < a < 1\) опять четыре корня.

Положение III: \(a = 1\). Окружность касается горизонтали в точке \((0;1)\), гипербола даёт \(x = 1\), и прямая тоже \(x = 1\) — они склеились:

\[x \in \{0;\ 1\},\]

то есть два корня. Подходит.

При \(a > 1\) окружность снова не задета, остаются

\[x = \frac{1}{a} \in (0;\ 1)\]

и \(x = 1\), то есть два корня. Подходит.

Важно! Считаем не точки пересечения, а различные значения \(x\)! При \(a = 0\) и при \(a = 1\) две разные линии дают один и тот же \(x\), и корень засчитывается один раз. Если этого не заметить, оба «хороших» случая выпадут из ответа.

Шаг 6. Собираем ответ

Ровно два корня получаются при \(a < -1\), при \(a = 0\) и при \(a \geqslant 1\):

\[a \in (-\infty;\ -1) \cup \{0\} \cup [1;\ +\infty).\]

Важно! Точка \(a = 1\) в ответ входит, а \(a = -1\) — нет. Такие «одиночные» значения обязательно выписывайте отдельной фигурной скобкой: множество \(\{0\}\) легко потерять, а это сразу минус балл.

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -1) \cup \{0\} \cup [1;\ +\infty)\)