ОДЗ. В системе есть только многочлены, поэтому ограничения на значения x, y и параметра a отсутствуют.

Преобразуем второе уравнение:

\[ x^2+y=xy+x \] \[ x^2-x+y-xy=0 \] \[ x(x-1)-y(x-1)=0 \] \[ (x-1)(x-y)=0. \]

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому все решения системы лежат на одной из двух ветвей:

\[ \boxed{x=1}\qquad\text{или}\qquad\boxed{y=x}. \]

Чтобы система имела ровно четыре различных решения, на каждой ветви должно получиться по два решения. Также надо проверить, не совпадает ли решение одной ветви с решением другой.

1. Ветвь \(x=1\).

Подставим \(x=1\) в первое уравнение:

\[ a+a y^2-(2a-5)+2ay+1=0, \]

\[ a y^2+2ay-a+6=0. \]

При \(a=0\) получаем \(6=0\), то есть решений на этой ветви нет. Поэтому для получения двух решений необходимо \(a\ne0\).

Это квадратное уравнение относительно \(y\). По свойству квадратного уравнения оно имеет два различных действительных корня, если его дискриминант положителен:

\[ D_1=(2a)^2-4\cdot a\cdot(-a+6) =4a^2+4a^2-24a =8a(a-3). \]

Следовательно,

\[ D_1>0\iff a(a-3)>0\iff a<0\ \text{или}\ a>3. \]

2. Ветвь \(y=x\).

Подставим \(y=x\) в первое уравнение:

\[ ax^2+ax^2-(2a-5)x+2ax+1=0. \]

Слагаемые с \(a x\) сокращаются:

\[ 2ax^2+5x+1=0. \]

При \(a=0\) это линейное уравнение \(5x+1=0\), имеющее только одно решение. Значит, для двух решений снова нужно \(a\ne0\).

При \(a\ne0\) имеем квадратное уравнение относительно \(x\). Оно имеет два различных действительных корня при условии

\[ D_2=5^2-4\cdot2a\cdot1=25-8a>0. \]

Отсюда

\[ a<\frac{25}{8}. \]

3. Совместим условия и проверим совпадение решений.

На каждой из ветвей по два решения при

\[ \left(a<0\ \text{или}\ a>3\right),\qquad a<\frac{25}{8}. \]

Отсюда предварительно получаем:

\[ a<0\quad\text{или}\quad 3

Решение с ветвей \(x=1\) и \(y=x\) может совпасть только в точке их пересечения \((1;1)\). Подставим \(x=1\), \(y=1\) в первое уравнение:

\[ a+a-(2a-5)+2a+1=0, \]

\[ 2a+6=0, \]

\[ a=-3. \]

При \(a=-3\) каждая ветвь даёт по два корня, но точка \((1;1)\) считается дважды. Поэтому различных решений будет только \(2+2-1=3\), а не четыре. Значение \(a=-3\) исключаем.

Итоговая схема на числовой прямой:

−30325/8 a подходитподходитподходит

Ответ:

\[ \boxed{(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup\left(3;\frac{25}{8}\right)}. \]