Среднее всех чисел

Оно понадобится во всех трёх пунктах, поэтому посчитаем сразу:

\[\frac{5\cdot 10 + 4\cdot 10 + 3\cdot 10}{30} =\]

\[= \frac{50 + 40 + 30}{30} = \frac{120}{30} = 4.\]

Важно! Величина \(\dfrac{A+B}{2}\) — это среднее двух средних, а не среднее всех чисел. Совпадают они далеко не всегда: группа из одного числа влияет на \(\dfrac{A+B}{2}\) ровно так же сильно, как группа из двадцати девяти. Именно на этом и построены пункты а и в.

Пункт а

Нужен пример, в котором среднее всех чисел меньше, чем \(\dfrac{A+B}{2}\). Значит одну из групп надо сделать маленькой и «богатой» — тогда её высокое среднее войдёт в полусумму с тем же весом, что и среднее большой группы.

Положим в первую группу все десять пятёрок, а во вторую — всё остальное, то есть десять четвёрок и десять троек. Обе группы непусты, условие соблюдено.

Считаем среднее первой группы:

\[A = \frac{5\cdot 10}{10} = 5.\]

Считаем среднее второй группы:

\[B = \frac{4\cdot 10 + 3\cdot 10}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5.\]

Теперь полусумма:

\[\frac{A+B}{2} = \frac{5 + 3{,}5}{2} = \frac{8{,}5}{2} = 4{,}25.\]

Среднее всех тридцати чисел равно 4, а \(4 < 4{,}25\) — пример подходит.

Пример: первая группа — десять «5», вторая — десять «4» и десять «3».

Пункт б

Теперь в каждой группе ровно по 15 чисел. Обозначим сумму чисел первой группы через \(S_1\), второй — через \(S_2\). По определению среднего

\[A = \frac{S_1}{15}, \qquad B = \frac{S_2}{15}.\]

Подставим это в полусумму:

\[\frac{A+B}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{S_1}{15} + \frac{S_2}{15}\right).\]

Знаменатели одинаковы, поэтому дроби складываются сразу:

\[\frac{A+B}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{S_1 + S_2}{15} = \frac{S_1 + S_2}{30}.\]

Осталось понять, что получилось. В числителе \(S_1 + S_2\) — это сумма чисел первой группы плюс сумма чисел второй, а вместе они дают все тридцать чисел доски. В знаменателе стоит 30 — их количество. Значит

\[\frac{A+B}{2} = \frac{\text{сумма всех чисел}}{30} = 4,\]

то есть в точности среднее арифметическое всех тридцати чисел. Что и требовалось доказать.

Важно! Всё держится на равенстве размеров групп: только тогда у \(A\) и \(B\) одинаковые знаменатели и при сложении не возникает перекоса. Стоит сделать группы разными по размеру — и равенство ломается, что как раз и показывает пункт а.

Пункт в. Оценка сверху

Рассуждение зеркально задаче на минимум. Если в группе троек и пятёрок поровну, её среднее равно 4, и тогда \(\dfrac{A+B}{2} = 4\) — большего так не получить. Значит баланс должен быть нарушен.

Пусть в одной из групп пятёрок меньше, чем троек. Тогда её среднее меньше 4; будем считать, что это первая группа, то есть \(A < 4\).

В ней не больше 29 чисел, поэтому \(A\) — дробь со знаменателем \(m \leqslant 29\). Насколько близко к четырём она может подойти снизу:

\[A = \frac{S}{m} < 4\quad \Longrightarrow\quad S \leqslant 4m - 1\quad \Longrightarrow\]\[A \leqslant 4 - \frac{1}{m} \leqslant 4 - \frac{1}{29}.\]

Значит \(A \leqslant 3\dfrac{28}{29}\).

Все числа не больше 5, поэтому \(B \leqslant 5\). Складываем:

\[\frac{A+B}{2} \leqslant \frac{3\frac{28}{29} + 5}{2} = \frac{\frac{115}{29} + \frac{145}{29}}{2}\]\[= \frac{260}{58} = \frac{130}{29}\]\[= 4\frac{14}{29}.\]

Пункт в. Оценка достигается

Для равенства нужно, чтобы во второй группе была единственная пятёрка, а в первой — все остальные 29 чисел:

\[A = \frac{5\cdot 9 + 4\cdot 10 + 3\cdot 10}{29}\]\[= \frac{45 + 40 + 30}{29} = \frac{115}{29}\]\[= 3\frac{28}{29},\]\[B = 5,\]

\[\frac{A+B}{2} = \frac{3\frac{28}{29} + 5}{2} = 4\frac{14}{29}.\]

Ответ: в) \(4\dfrac{14}{29}\).