На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно \(A\), среднее арифметическое чисел во второй группе равно \(B\). При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше \(\dfrac{A+B}{2}\).
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно \(\dfrac{A+B}{2}\).
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения \(\dfrac{A+B}{2}\).
Среднее всех чисел
Оно понадобится во всех пунктах:
\[\frac{5\cdot 10 + 4\cdot 10 + 3\cdot 10}{30} = \frac{50 + 40 + 30}{30} = \frac{120}{30} = 4.\]
Важно! Величина \(\dfrac{A+B}{2}\) — это среднее двух средних, а не среднее всех чисел. Эти две величины совпадают далеко не всегда: группа из одного числа влияет на \(\dfrac{A+B}{2}\) ровно так же сильно, как группа из двадцати девяти.
Пункт а
Положим в первую группу все десять пятёрок, во вторую — всё остальное:
\[A = \frac{5\cdot 10}{10} = 5, \qquad B = \frac{4\cdot 10 + 3\cdot 10}{20} = \frac{70}{20} = 3{,}5.\]
Тогда
\[\frac{A+B}{2} = \frac{5 + 3{,}5}{2} = 4{,}25 > 4.\]
Среднее всех чисел равно 4, что меньше — пример подходит.
Пункт б
Пусть группы содержат по 15 чисел, а суммы чисел в них равны \(S_1\) и \(S_2\). Тогда
\[A = \frac{S_1}{15}, \qquad B = \frac{S_2}{15},\]
\[\frac{A+B}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{S_1}{15} + \frac{S_2}{15}\right) = \frac{S_1 + S_2}{30}.\]
В числителе стоит сумма всех тридцати чисел, в знаменателе — их количество. Это и есть среднее арифметическое всех чисел, то есть 4. Что и требовалось доказать.
Важно! Совпадение произошло именно потому, что группы одинакового размера — тогда знаменатели у \(A\) и \(B\) одинаковы и дроби складываются без перекоса.
Пункт в. Случай, когда обе группы «сбалансированы»
Начнём с наблюдения. Пусть в группе троек и пятёрок поровну — скажем, по \(x\) штук, а четвёрок \(y\) штук. Тогда
\[A = \frac{3x + 4y + 5x}{2x + y} = \frac{8x + 4y}{2x + y} = \frac{4(2x + y)}{2x + y} = 4.\]
Если так устроены обе группы, то \(A = B = 4\) и \(\dfrac{A+B}{2} = 4\). Значит меньшего значения надо искать там, где баланс нарушен.
Пункт в. Оценка снизу
Пусть в какой-то группе троек меньше, чем пятёрок. Тогда её среднее больше 4; будем считать, что это первая группа, то есть \(A > 4\).
В группе не больше 29 чисел (хотя бы одно ушло во вторую группу), поэтому \(A\) — это дробь со знаменателем не больше 29. Посмотрим, насколько близко к четырём такая дробь может подойти сверху. Если знаменатель равен \(m \leqslant 29\), то
\[A = \frac{S}{m} > 4 \quad\Longrightarrow\quad S > 4m \quad\Longrightarrow\quad S \geqslant 4m + 1 \quad\Longrightarrow\quad A \geqslant 4 + \frac{1}{m} \geqslant 4 + \frac{1}{29}.\]
Значит \(A \geqslant 4\dfrac{1}{29}\).
Теперь оценим \(B\). Все числа на доске не меньше 3, поэтому и среднее любой группы не меньше 3, то есть \(B \geqslant 3\). Складываем:
\[\frac{A+B}{2} \geqslant \frac{4\frac{1}{29} + 3}{2} = \frac{\frac{117}{29} + \frac{87}{29}}{2} = \frac{204}{58} = \frac{102}{29} = 3\frac{15}{29}.\]
Пункт в. Оценка достигается
Чтобы обе оценки выполнились как равенства, нужно: во второй группе только тройки (иначе \(B > 3\)), причём одна-единственная (иначе в первой группе будет меньше 29 чисел). Положим во вторую группу одну тройку, а в первую — все остальные 29 чисел:
\[A = \frac{5\cdot 10 + 4\cdot 10 + 3\cdot 9}{29} = \frac{50 + 40 + 27}{29} = \frac{117}{29} = 4\frac{1}{29}, \qquad B = 3.\]
\[\frac{A+B}{2} = \frac{4\frac{1}{29} + 3}{2} = 3\frac{15}{29}.\]
Ответ: в) \(3\dfrac{15}{29}\).