В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?
Обозначения
Пусть в группе \(x\) юношей и столько же девушек. Пусть \(a\) юношей отправили по 21 письму, тогда остальные \(x - a\) юношей отправили по 4 письма. Всего отправлено
\[21a + 4(x - a) = 17a + 4x\ \text{писем}.\]
Важно! В условии сказано, что и тех и других юношей было не менее двух. Это значит \(a \geqslant 2\) и \(x - a \geqslant 2\), то есть \(2 \leqslant a \leqslant x - 2\). Без этих ограничений пункты б и в решаются неверно.
Пункт а
Если каждая из \(x\) девушек получила по 7 писем, то всего получено \(7x\) писем. Писем отправлено ровно столько же, сколько получено:
\[17a + 4x = 7x, \qquad 17a = 3x.\]
Число 17 простое, поэтому \(x\) должно делиться на 17. Наименьший подходящий вариант: \(x = 17\) и \(a = 3\).
Проверим: 3 юноши отправили по 21 письму, 14 юношей — по 4 письма, всего
\[3\cdot 21 + 14\cdot 4 = 63 + 56 = 119 = 17\cdot 7.\]
Ограничения выполнены: \(3 \geqslant 2\) и \(14 \geqslant 2\).
Да, могло.
Пункт б
Пусть каждая девушка получила по \(n\) писем. Тогда всего получено \(xn\) писем, и
\[xn = 17a + 4x, \qquad x(n - 4) = 17a, \qquad n - 4 = \frac{17a}{x}.\]
Слева стоит целое число, значит \(x\) делит \(17a\).
Предположим, что \(x < 17\). Из ограничений \(a \geqslant 2\) и \(x - a \geqslant 2\) следует \(x \geqslant 4\), и при этом \(a < x\).
Число 17 простое, а \(1 < x < 17\), поэтому \(x\) и 17 взаимно просты. Тогда из делимости \(17a\) на \(x\) следует, что на \(x\) делится само \(a\). Но \(0 < a < x\) — такое невозможно.
Значит \(x \geqslant 17\), а пример на 17 уже построен в пункте а.
Ответ пункта б: 17.
Пункт в. Оценка сверху
Пусть все девушки получили разное количество писем. Расставим их по возрастанию: самая невезучая получила не меньше 0 писем, следующая не меньше 1, и так далее до \(x - 1\). Значит всего писем не меньше
\[0 + 1 + 2 + \ldots + (x-1) = \frac{x(x-1)}{2}.\]
С другой стороны, писем ровно \(17a + 4x\), поэтому
\[17a + 4x \geqslant \frac{x(x-1)}{2}.\]
Умножим на 2:
\[34a + 8x \geqslant x^2 - x.\]
Теперь воспользуемся ограничением \(a \leqslant x - 2\) — оно даёт верхнюю оценку на левую часть:
\[x^2 - x \leqslant 34a + 8x \leqslant 34(x-2) + 8x = 42x - 68.\]
Переносим всё влево:
\[x^2 - 43x + 68 \leqslant 0.\]
Дискриминант \(D = 43^2 - 4\cdot 68 = 1849 - 272 = 1577\). Нас интересует верхняя граница:
\[x \leqslant \frac{43 + \sqrt{1577}}{2} < \frac{43 + \sqrt{1600}}{2} = \frac{43 + 40}{2} = 41{,}5.\]
Число \(x\) целое, значит \(x \leqslant 41\).
Пункт в. Пример на 41 девушку
Возьмём \(x = 41\) и \(a = 39\): тридцать девять юношей отправили по 21 письму, двое — по 4. Всего
\[39\cdot 21 + 2\cdot 4 = 819 + 8 = 827\ \text{писем}.\]
Распределим их так: сорок девушек получили по \(0, 1, 2, \ldots, 39\) писем — это
\[\frac{39\cdot 40}{2} = 780\ \text{писем},\]
а последней достались оставшиеся \(827 - 780 = 47\) писем. Все 41 число различны, ограничения на юношей выполнены.
Ответ: а) да, могло; б) 17; в) 41.