На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30035.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 325?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел быть равным 7?
в) Отношение двух написанных на доске чисел является целым числом \(n\). Найдите наименьшее возможное значение \(n\).
Ключевое наблюдение
Целое среднее арифметическое четырёх чисел означает, что их сумма делится на 4. Аналогично для троек, пятёрок и шестёрок.
Все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на 4. Пусть это не так: числа \(a\) и \(b\) дают разные остатки. Возьмём ещё три числа \(c\), \(d\), \(e\) с доски и рассмотрим две четвёрки:
\[a,\ c,\ d,\ e \qquad\text{и}\qquad b,\ c,\ d,\]\[\ e.\]
Обе суммы делятся на 4, значит и их разность делится на 4. Но разность равна
\[(a + c + d + e) - (b + c + d + e) = a - b,\]
а если \(a - b\) делится на 4, то остатки совпадают. Противоречие.
Точно так же, беря пары троек, пятёрок и шестёрок с общей частью, получаем то же самое для модулей 3, 5 и 6.
Важно! Все дальнейшие пункты — это игра с четырьмя остатками числа 30035. Выпишем их сразу:
\[30035 : 3 \ \text{— остаток } 2,\]
\[30035 : 4 \ \text{— остаток } 3,\]
\[30035 : 5 \ \text{— остаток } 0,\]
\[30035 : 6 \ \text{— остаток } 5.\]
Такие же остатки обязаны быть у всех десяти чисел доски.
Пункт а
Найдём остаток числа 325 при делении на 4:
\[325 = 4\cdot 81 + 1.\]
Остаток 1, а должен быть 3.
Нет, не может.
Пункт б
Пусть на доске стоят числа \(a\) и \(7a\). Число \(a\) даёт остаток 3 при делении на 4, поэтому
\[7a \equiv 7\cdot 3 = 21 \equiv 1 \pmod 4.\]
Значит \(7a\) даёт остаток 1, а должен давать 3.
Нет, не может.
Пункт в. Почему малые \(n\) не подходят
Числа различны, поэтому \(n > 1\). Пусть на доске стоят \(a\) и \(na\), и у обоих те же четыре остатка. Переберём \(n\) по порядку.
\(n\), кратные 3, 4 или 6 — это 3, 4, 6, 8, 9, 12. Тогда \(na\) делится на 3, на 4 или на 6, то есть даёт по соответствующему модулю остаток 0. Но нужные остатки равны 2, 3 и 5 — ни один не нулевой.
\(n = 2\). Число \(a\) даёт остаток 5 при делении на 6, поэтому \(2a\) даёт остаток \(2\cdot 5 = 10\), то есть 4. А нужно 5.
\(n = 5\). Число \(a\) даёт остаток 2 при делении на 3, поэтому \(5a\) даёт остаток \(5\cdot 2 = 10\), то есть 1. А нужно 2.
\(n = 7\). Разобрано в пункте б: остаток по модулю 4 становится 1 вместо 3.
\(n = 10\). Остаток по модулю 4 становится \(10\cdot 3 = 30\), то есть 2 вместо 3.
\(n = 11\). Остаток по модулю 3 становится \(11\cdot 2 = 22\), то есть 1 вместо 2.
Все значения от 2 до 12 отпали.
Пункт в. Пример для \(n = 13\)
Нужны числа с остатками 2 по модулю 3, 3 по модулю 4, 0 по модулю 5 и 5 по модулю 6. Такие числа образуют арифметическую прогрессию с шагом 60 — это наименьшее общее кратное чисел 3, 4, 5 и 6. Наименьшее подходящее число равно 155, поэтому берём
\[155, \ 515, \ 875, \ 1235, \ 1595,\]\[\ 1955, \ 2015, \ 2315,\]\[\ 2675, \ 30035.\]
Все они имеют вид \(155 + 60k\), все различны, и среди них есть требуемое условием 30035. Отношение двух из них равно 13:
\[2015 = 155\cdot 13.\]
Проверим условие про средние. Все числа дают остаток 2 при делении на 3, поэтому сумма любых трёх даёт остаток \(3\cdot 2 = 6\), то есть делится на 3. Сумма любых четырёх даёт остаток \(4\cdot 3 = 12\) при делении на 4 — делится. Сумма любых пяти делится на 5, потому что каждое число само делится на 5. Сумма любых шести даёт остаток \(6\cdot 5 = 30\) при делении на 6 — делится. Все четыре условия выполнены.
Ответ: а) нет, не может; б) нет, не может; в) 13.