а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычёркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 206, 835, 930.
б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычёркивая цифры, можно получить каждое из чисел: 247, 345, 586, 812?
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от 1 до 50, вычёркивая цифры.
Важно! «Вычёркивая цифры» означает, что оставшиеся цифры сохраняют свой порядок. Переставлять их нельзя. Поэтому из 2893506 можно получить 206, но нельзя получить 602.
Пункт а
Подойдёт число \(2893506\). Проверим все три:
- вычеркнем 8, 9, 3, 5 — останется \(2\,\underline{\ }\,\underline{\ }\,\underline{\ }\,0\,\underline{\ }\,6\), то есть 206;
- вычеркнем 2, 9, 0, 6 — останется 835;
- вычеркнем 2, 8, 5, 6 — останется 930.
Пункт б
Сначала посчитаем, какие цифры вообще нужны. В четырёх данных числах встречаются цифры
\[2,\ 4,\ 7 \quad\text{и}\quad 3,\ 4,\ 5 \quad\text{и}\quad 5,\ 8,\ 6 \quad\text{и}\quad 8,\ 1,\ 2,\]
а всего различных цифр здесь ровно восемь: от 1 до 8. Искомое число тоже восьмизначное, значит каждая цифра встречается в нём ровно один раз, и её место определено однозначно.
Теперь посмотрим, в каком порядке цифры обязаны идти. Раз из числа получается 247, то двойка стоит раньше четвёрки. Выпишем все такие требования:
- из 247: цифра 2 раньше цифры 4;
- из 345: цифра 4 раньше цифры 5;
- из 586: цифра 5 раньше цифры 8;
- из 812: цифра 8 раньше цифры 2.
Пройдём по цепочке:
\[2\ \text{раньше}\ 4\ \text{раньше}\ 5\ \text{раньше}\ 8\ \text{раньше}\ 2.\]
Получилось, что двойка стоит раньше самой себя. Это невозможно.
Нет, не существует.
Пункт в. Оценка снизу
Посчитаем, сколько цифр обязано быть в числе.
Цифры 1, 2, 3, 4 — не меньше двух раз каждая. Среди чисел от 1 до 50 есть \(11,\ 22,\ 33,\ 44\), а для каждого из них нужны две одинаковые цифры подряд по порядку — значит одного экземпляра не хватит.
Цифры 5, 6, 7, 8, 9 — хотя бы по разу, ведь есть однозначные числа 5, 6, 7, 8, 9.
Ноль — хотя бы раз, он нужен для числа 10.
Итого не меньше
\[4\cdot 2 + 5 + 1 = 14\ \text{цифр}.\]
Важно! Цифра 5 нужна только один раз, хотя числа 55 в списке нет — список заканчивается на 50. Если бы требовались числа до 55, ответ был бы другим.
Пункт в. Пример на 14 цифр
Подойдёт число
\[12341234506789.\]
Проверим, что из него получается всё нужное.
Однозначные числа. Каждая цифра от 1 до 9 в записи есть.
Двузначные без нуля. После каждой из цифр 1, 2, 3, 4 (первое вхождение) идёт полный набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — поэтому получается любое число \(\overline{ab}\), где первая цифра не больше 4. А все числа от 10 до 49 именно такие.
Числа с нулём. Ноль стоит после цифр 1, 2, 3, 4 и 5, поэтому получаются 10, 20, 30, 40 и 50.
Итак, все числа от 1 до 50 получаются, и цифр ровно 14 — столько же, сколько требует оценка.
Ответ: а) 2893506; б) нет, не существует; в) 12341234506789.