Ключевое наблюдение

Сначала переведём условие на язык делимости. Среднее арифметическое четырёх чисел целое — это то же самое, что сумма этих четырёх чисел делится на 4. Аналогично для семи и семёрки.

Все числа на доске дают одинаковый остаток при делении на 4. Докажем от противного. Пусть числа \(a\) и \(b\) дают разные остатки. Возьмём ещё какие-нибудь три числа \(c\), \(d\), \(e\) с доски — их хватит, чисел всего десять. Рассмотрим две четвёрки:

\[a,\ c,\ d,\ e \qquad\text{и}\qquad b,\ c,\ d,\]\[\ e.\]

Суммы обеих делятся на 4. Тогда и их разность делится на 4:

\[(a + c + d + e) - (b + c + d + e) = a - b.\]

Но если \(a - b\) делится на 4, то \(a\) и \(b\) дают одинаковые остатки при делении на 4 — противоречие.

Точно так же, беря две семёрки с общими шестью числами, доказывается, что все числа дают одинаковый остаток при делении на 7.

Важно! Приём «вычесть две суммы с общей частью» — главный инструмент этой задачи. Общие слагаемые сокращаются, и остаётся разность ровно двух интересующих нас чисел.

Пункт а

Найдём остатки при делении на 4:

\[563 = 4\cdot 140 + 3,\]\[1417 = 4\cdot 354 + 1.\]

Остатки 3 и 1 разные, а по доказанному они обязаны совпадать.

Нет, не могут.

Пункт б

Раз на доске есть 563, то все числа дают остаток 3 при делении на 4. Посмотрим, какие остатки при делении на 4 вообще бывают у квадратов. Любое натуральное число даёт при делении на 4 остаток 0, 1, 2 или 3, поэтому достаточно проверить четыре случая:

\[0^2 = 0 \ \text{— остаток } 0,\]

\[1^2 = 1 \ \text{— остаток } 1,\]

\[2^2 = 4 \ \text{— остаток } 0,\]

\[3^2 = 9 \ \text{— остаток } 1.\]

Квадрат даёт при делении на 4 только остаток 0 или 1. Остатка 3 среди них нет.

Нет, не может.

Пункт в. Что требуется от числа \(n\)

На доске стоят 1 и \(n^2\), причём это разные числа, значит \(n \neq 1\). Число 1 даёт остаток 1 и при делении на 4, и при делении на 7. Следовательно, того же требуем от \(n^2\):

\[n^2 \equiv 1 \pmod 4 \qquad\text{и}\qquad n^2 \equiv 1 \pmod 7.\]

Из разбора в пункте б видно, что остаток 1 по модулю 4 квадрат даёт только тогда, когда само число нечётно. Поэтому перебираем только нечётные \(n\) и смотрим остаток при делении на 7.

\(n = 3\): \(n^2 = 9\), остаток 2

\(n = 5\): \(n^2 = 25\), остаток 4

\(n = 7\): \(n^2 = 49\), остаток 0

\(n = 9\): \(n^2 = 81\), остаток 4

\(n = 11\): \(n^2 = 121\), остаток 2

\(n = 13\): \(n^2 = 169\), остаток 1 — подходит

Первое подходящее значение — \(n = 13\).

Пункт в. Пример

Осталось показать, что при \(n = 13\) доска действительно может существовать. Нужно десять различных натуральных чисел, дающих остаток 1 и по модулю 4, и по модулю 7, среди которых есть 1 и \(169 = 13^2\).

Числа, дающие остаток 1 сразу по двум модулям, — это числа вида \(28k + 1\), ведь \(4\cdot 7 = 28\). Возьмём первые десять:

\[1,\ 29,\ 57,\ 85,\ 113,\ 141,\]\[\ 169,\ 197,\ 225,\ 253.\]

Проверим условие. Каждое число даёт остаток 1 при делении на 4, поэтому сумма любых четырёх даёт остаток \(1+1+1+1 = 4\), то есть делится на 4. Точно так же сумма любых семи даёт остаток \(7\cdot 1 = 7\) при делении на 7, то есть делится на 7. Оба средних арифметических целые, число \(169 = 13^2\) на доске есть.

Ответ: а) нет, не могут;   б) нет, не может;   в) 13.