Обозначения

Пусть \(a\) детей потратили по 30 рублей, а \(b\) детей — по 140 рублей. Всего детей \(n\), поэтому \(a + b = n\).

Важно! В условии сказано, что не все дети потратили поровну. Это значит, что обе группы непусты: \(a \geqslant 1\) и \(b \geqslant 1\). Без этого замечания в пунктах б и в получатся неверные ответы.

Пункт а

Если каждый из \(n\) аттракционов получил по 80 рублей, то вся выручка парка равна \(80n\). С другой стороны, эта же выручка — это все потраченные детьми деньги:

\[80n = 30a + 140b.\]

Подставим \(a = n - b\) и упростим. Разделим обе части на 10:

\[8n = 3a + 14b = 3(n - b) + 14b = 3n + 11b,\]

\[5n = 11b.\]

Подойдёт \(n = 11\) и \(b = 5\), тогда \(a = 6\). Проверим: дети потратили

\[6\cdot 30 + 5\cdot 140 = 180 + 700 = 880\ \text{рублей},\]

и на 11 аттракционов это даёт ровно по 80 рублей. Осталось убедиться, что такое распределение возможно: 880 рублей — это 88 посещений по 10 рублей, а 88 посещений делятся на 11 аттракционов по 8 посещений. Один аттракцион можно посещать много раз, поэтому препятствий нет.

Да, может.

Пункт б

Пусть каждый аттракцион посетили \(x\) раз, тогда его выручка равна \(10x\) рублей, а выручка всего парка — \(10xn\) рублей. Как и выше,

\[10xn = 30a + 140b, \qquad xn = 3n + 11b.\]

Посмотрим на это равенство с точки зрения делимости на \(n\). Слева \(xn\) делится на \(n\). Справа \(3n\) тоже делится на \(n\). Значит и \(11b\) обязано делиться на \(n\).

По условию \(1 \leqslant b \leqslant n-1\), то есть само \(b\) на \(n\) не делится. Разберём, что это даёт.

Если бы числа \(n\) и 11 были взаимно просты, то из делимости \(11b\) на \(n\) следовало бы, что на \(n\) делится \(b\) — а это невозможно. Значит \(n\) и 11 не взаимно просты. Но 11 — простое число, поэтому единственный вариант: \(n\) делится на 11.

Наименьшее такое количество детей — \(n = 11\), и пример для него уже построен в пункте а).

Ответ пункта б: 11.

Пункт в. Оценка сверху

Оценим выручку парка с двух сторон.

Снизу. Выручки всех \(n\) аттракционов различны и кратны 10 (каждое посещение стоит 10 рублей), причём могут быть нулевыми. Наименьшая возможная сумма получится, если выручки равны \(0,\ 10,\ 20,\ \ldots,\ 10(n-1)\). Это арифметическая прогрессия, её сумма равна

\[\frac{0 + 10(n-1)}{2}\cdot n = 5n(n-1).\]

Сверху. Вся выручка — это деньги детей. Она наибольшая, когда по 140 рублей потратило как можно больше детей. Но хотя бы один ребёнок обязан потратить 30 рублей, поэтому

\[30a + 140b \leqslant 140(n-1) + 30 = 140n - 110.\]

Соединяем обе оценки:

\[5n(n-1) \leqslant 140n - 110.\]

Раскрываем и делим на 5:

\[5n^2 - 5n \leqslant 140n - 110, \qquad 5n^2 - 145n + 110 \leqslant 0, \qquad n^2 - 29n + 22 \leqslant 0.\]

Дискриминант \(D = 841 - 88 = 753\), и больший корень равен \(\dfrac{29 + \sqrt{753}}{2}\). Оценим его: \(\sqrt{753} < \sqrt{784} = 28\), поэтому

\[n \leqslant \frac{29 + \sqrt{753}}{2} < \frac{29 + 28}{2} = 28{,}5.\]

Число \(n\) целое, значит \(n \leqslant 28\).

Пункт в. Пример на 28 детей

Из оценки видно, что запас совсем небольшой, поэтому берём самый выгодный вариант: 27 детей тратят по 140 рублей и один ребёнок — 30 рублей. Всего

\[27\cdot 140 + 30 = 3780 + 30 = 3810\ \text{рублей},\]

то есть \(381\) посещение.

Нам нужно 28 различных выручек. Самый экономный набор \(0, 10, \ldots, 270\) даёт \(0+1+\ldots+27 = 378\) посещений — на 3 меньше, чем есть. Значит последнюю выручку увеличиваем на 3 посещения: вместо 270 рублей берём 300.

Итоговые выручки: \(0,\ 10,\ 20,\ \ldots,\ 260,\ 300\) рублей. Все они различны, все кратны 10, а их сумма равна \(3810\) рублей — ровно столько потратили дети.

Ответ: а) да, может;   б) 11;   в) 28.