На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 15.
а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 16?
б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 11?
в) Найдите наибольшее возможное число \(k\) такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на \(k\).
Сколько чисел может быть на доске
Это понадобится во всех пунктах, поэтому разберёмся сразу. Кратные 15 идут через каждые 15 чисел. Если их ровно пять, то набор обязательно накрывает пять таких чисел и не накрывает шестое.
Самый короткий набор. Он начинается кратным 15 и им же заканчивается: между первым и пятым кратным ровно \(4\cdot 15 = 60\) шагов, а чисел на одно больше:
\[4\cdot 15 + 1 = 61.\]
Самый длинный набор. Слева можно добавить ещё 14 чисел (до следующего кратного 15 не дотянув) и справа тоже 14:
\[61 + 14 + 14 = 89.\]
Значит на доске от 61 до 89 чисел.
Пункт а
Достаточно привести пример. Возьмём все числа от 16 до 96 включительно.
Кратных 15 среди них ровно пять: \(30,\ 45,\ 60,\ 75,\ 90\). Кратных 16 — шесть: \(16,\ 32,\ 48,\ 64,\ 80,\ 96\).
Да, могло.
Пункт б
Как мы выяснили, чисел на доске не меньше 61. Посмотрим, сколько среди 61 подряд идущего числа обязательно найдётся кратных 11.
Кратные 11 идут через каждые 11 чисел. Разобьём 61 подряд идущее число на группы по 11: получится \(61 = 5\cdot 11 + 6\), то есть пять полных групп и остаток. В каждой полной группе из 11 подряд идущих чисел ровно одно кратно 11. Значит кратных 11 не меньше пяти.
Важно! Здесь легко ошибиться и решить, что кратных может быть меньше, если «неудачно» расположить набор. Но в любых 11 подряд идущих числах кратное 11 есть всегда — как бы набор ни сдвигали. Именно поэтому оценка не зависит от расположения.
Итак, кратных 11 всегда не меньше пяти, меньше быть не может.
Нет, не могло.
Пункт в. Оценка сверху
Из пункта а) уже видно, что \(k = 16\) подходит. Проверим, годится ли \(k = 17\), и покажем, что \(k \geqslant 18\) уже нет.
Случай \(k \geqslant 18\). Чтобы среди подряд идущих чисел нашлось шесть кратных \(k\), набор должен быть достаточно длинным. Самый короткий такой набор начинается кратным \(k\) и им же заканчивается, в нём
\[5k + 1 \geqslant 5\cdot 18 + 1 = 91\ \text{число}.\]
Но мы выяснили, что на доске не больше 89 чисел. Противоречие: такой длинный набор не может содержать ровно пять кратных 15.
Важно! Обратите внимание на логику: мы не проверяли каждое \(k\) по отдельности. Оценка длины набора сверху (не больше 89) сразу отсекает все \(k \geqslant 18\) одним ударом.
Пункт в. Пример для \(k = 17\)
Возьмём числа от 16 до 104 включительно — это 89 чисел, то есть ровно максимально возможная длина.
Кратных 15 здесь ровно пять: \(30,\ 45,\ 60,\ 75,\ 90\). Кратных 17 — шесть: \(17,\ 34,\ 51,\ 68,\ 85,\ 102\). Условие выполнено, и шесть чисел делятся на 17.
Ответ: а) да, могло; б) нет, не могло; в) 17.