Что означает условие

Условие «никакие два не имеют общего делителя, большего 1» означает, что числа попарно взаимно просты. Из этого сразу следует важное наблюдение: среди наших чисел не может быть двух чётных — у любых двух чётных чисел есть общий делитель 2. Точно так же не может быть двух чисел, кратных 3, двух кратных 5 и так далее для любого простого числа.

Единица взаимно проста с любым числом, поэтому её брать в набор всегда можно и выгодно.

Пункт а

Достаточно привести пример. Возьмём единицу и семь различных простых чисел — они попарно взаимно просты, потому что у разных простых чисел нет общих делителей, кроме единицы:

\[1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 23 = 65.\]

Да, может.

Пункт б

Как мы заметили, чётное число в наборе может быть только одно. Разберём два случая.

Случай 1: чётное число есть. Тогда остальные семь чисел нечётны. Сумма семи нечётных чисел нечётна, а прибавление чётного числа чётность не меняет, поэтому вся сумма нечётна. Но 62 чётно — не подходит.

Случай 2: чётного числа нет. Тогда все восемь чисел нечётны и различны. Самая маленькая сумма получится на восьми наименьших нечётных числах:

\[1+3+5+7+9+11+13+15 = 64 > 62.\]

Значит любая сумма в этом случае больше 62. (Заметим, что сам этот набор условию даже не удовлетворяет — числа 3, 9 и 15 кратны трём. Но нам и не нужно, чтобы он подходил: он даёт оценку снизу, и её уже достаточно.)

Ни в одном из случаев сумма 62 невозможна.

Нет, не может.

Пункт в. Какими должны быть три первых числа

Расположим числа по возрастанию: \(a_1 < a_2 < \ldots < a_8\). Будем последовательно показывать, что для наименьшей суммы набор обязан начинаться с 1, 2, 3.

Единица. Если её в наборе нет, заменим наибольшее число на 1 — взаимная простота сохранится, ведь единица взаимно проста со всем, а сумма уменьшится. Значит \(a_1 = 1\).

Двойка. Чётное число в наборе может быть только одно. Если чётного числа нет, заменим наибольшее из чисел на 2 и уменьшим сумму. Если чётное число есть, но больше 2, заменим его на 2 — других чётных в наборе нет, поэтому конфликта не возникнет, а сумма уменьшится. Значит \(a_2 = 2\).

Тройка. Рассуждение то же: кратное трём может быть только одно, и если его нет или оно больше 3, заменяем на 3 и уменьшаем сумму. Значит \(a_3 = 3\).

Пункт в. Остальные пять чисел

Двойка и тройка уже заняты, поэтому больше нельзя брать ни чётные числа, ни кратные трём. Выпишем, какие числа остаются, начиная с 4:

4 — чётное, нельзя. 5 — можно. 6 — чётное, нельзя. 7 — можно. 8 — чётное. 9 — кратно 3. 10 — чётное. 11 — можно. 12 — чётное. 13 — можно. 14 — чётное. 15 — кратно 3. 16 — чётное. 17 — можно.

Значит \(a_4 \geqslant 5\), \(a_5 \geqslant 7\), \(a_6 \geqslant 11\), \(a_7 \geqslant 13\), \(a_8 \geqslant 17\), и сумма не меньше

\[1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 59.\]

Осталось убедиться, что этот набор годится. Числа 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 — это единица и семь различных простых чисел, они попарно взаимно просты. Оценка достигается.

Ответ: а) да, может;   б) нет, не может;   в) 59.