а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?
в) Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.
Пункт а
Достаточно привести пример. Возьмём числа 2034 и 9:
\[2034 + 9 = 2043,\]
а суммы цифр равны: \(2+0+3+4 = 9\) и \(9\). Числа различны, оба натуральные.
Да, можно.
Пункт б
Предположим, что такие числа \(A\) и \(B\) существуют: \(A + B = 599\), и суммы их цифр равны. Сложим их в столбик и посмотрим на разряды справа налево. Если одно из чисел короче, будем считать, что в старших разрядах у него стоят нули.
Разряд единиц. Сумма последних цифр должна заканчиваться на 9. Но сумма двух цифр не превосходит \(9+9 = 18\), а единственное число, не превосходящее 18 и заканчивающееся на 9, — это само 9. Значит сумма цифр единиц равна ровно 9, и переноса в следующий разряд нет.
Разряд десятков. Переноса не было, поэтому здесь та же логика: сумма цифр десятков заканчивается на 9, не превосходит 18, значит равна 9. Переноса снова нет.
Разряд сотен. Переноса нет, поэтому сумма цифр сотен равна 5.
Теперь сложим все цифры обоих чисел. Мы разобрали три разряда, и в каждом знаем сумму:
\[5 + 9 + 9 = 23.\]
Это сумма цифр числа \(A\) плюс сумма цифр числа \(B\). Но по условию эти две суммы равны, значит их общая сумма чётна. А 23 нечётно. Противоречие.
Нет, нельзя.
Пункт в. Оценка снизу
Пусть искомые числа \(x_1 < x_2 < \ldots < x_7\). Воспользуемся тем же признаком, что и в пункте б, но для девятки: число даёт при делении на 9 тот же остаток, что и сумма его цифр. Причина та же: \(10 \equiv 1 \pmod 9\), значит и \(100 \equiv 1\), и \(1000 \equiv 1\), и каждый разряд вносит в остаток ровно свою цифру.
Суммы цифр у наших чисел равны, поэтому равны и их остатки при делении на 9. Но числа различны, а два числа с одинаковым остатком отличаются на кратное девяти. Значит соседние числа отличаются не меньше чем на 9:
\[x_2 \geqslant x_1 + 9,\quad x_3 \geqslant x_1 + 18,\]\[\ldots,\quad x_7 \geqslant x_1 + 54.\]
Складываем все семь неравенств:
\[x_1 + x_2 + \ldots + x_7 \geqslant 7x_1 + (9 + 18 + \ldots + 54) = 7x_1 + 189.\]
Здесь \(9 + 18 + \ldots + 54 = 9(1+2+\ldots+6) = 9\cdot 21 = 189\).
Пункт в. Перебор
Заметим, что если сумма цифр равна \(d\) и \(d \leqslant 9\), то самое маленькое число с такой суммой цифр — это само \(d\). Поэтому перебирать сумму цифр — то же самое, что перебирать наименьшее число \(x_1\).
Для каждого значения \(x_1\) берём семь наименьших чисел с суммой цифр \(x_1\) и складываем.
\(x_1 = 1\): числа 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000 — их сумма 1 111 111.
\(x_1 = 2\): числа 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001 — их сумма 1445.
\(x_1 = 3\): числа 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120 — их сумма 399.
\(x_1 = 4\): числа 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112 — их сумма 325.
\(x_1 = 5\): числа 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104 — их сумма 269.
\(x_1 = 6\): числа 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60 — их сумма 231.
Случай \(x_1 \geqslant 7\) разбирать по отдельности не нужно — его закрывает оценка снизу:
\[x_1 + \ldots + x_7 \geqslant 7x_1 + 189 \geqslant 7\cdot 7 + 189 = 238 > 231.\]
Значит наименьшая возможная сумма равна 231, и достигается она на наборе
\[6,\ 15,\ 24,\ 33,\ 42,\ 51,\ 60.\]
Проверим: суммы цифр у всех семи чисел равны 6, числа различны, а их сумма равна 231.
Ответ: а) да, можно; б) нет, нельзя; в) 231.