Ключевое соображение

Условие требуется для любых 300 монет, а наборов таких огромное количество. Перебирать их все не нужно: достаточно проверить один-единственный — самый невыгодный.

Правая часть неравенства — четверть общей суммы всех монет на столе — от выбора набора вообще не зависит, это фиксированное число. Меняется только левая часть, то есть сумма выбранных 300 монет. Значит труднее всего выполнить условие тогда, когда эта сумма наименьшая.

Наименьшей она будет, если взять как можно больше дешёвых двухрублёвых монет: заменив в наборе любую двойку на пятёрку, мы увеличим сумму на 3 рубля, а правая часть останется прежней. Поэтому если неравенство выполнено для самого бедного набора, оно автоматически выполнено и для всех остальных. И наоборот: если оно нарушено даже для самого бедного набора, то условие задачи не выполняется.

Общая сумма всех монет равна

\[5N + 2(1000 - N) = 2000 + 3N.\]

Пункт а

При \(N = 100\) двухрублёвых монет \(900\) — их больше 300, поэтому самый бедный набор состоит только из двоек:

\[300\cdot 2 = 600,\]\[\frac{2000 + 3\cdot 100}{4} = \frac{2300}{4}\]\[= 575.\]

Так как \(600 \geqslant 575\), условие выполнено. Да, может.

Пункт б

При \(N = 500\) двухрублёвых тоже \(500\), то есть больше 300, и снова берём 300 двоек:

\[300\cdot 2 = 600,\]\[\frac{2000 + 3\cdot 500}{4} = \frac{3500}{4}\]\[= 875.\]

Получилось \(600 < 875\) — нашёлся набор, нарушающий условие. Нет, не может.

Пункт в

Разберём два случая в зависимости от того, хватает ли двухрублёвых монет на все 300.

Случай 1: \(1000 - N \geqslant 300\), то есть \(N \leqslant 700\). Самый бедный набор — 300 двоек:

\[600 \geqslant \frac{2000 + 3N}{4},\]\[2400 \geqslant 2000 + 3N,\quad 3N \leqslant 400,\]

откуда \(N \leqslant 133\frac{1}{3}\), то есть \(N \leqslant 133\). Подходят все \(N\) от 1 до 133 — это 133 значения.

Случай 2: \(1000 - N < 300\), то есть \(N > 700\). Теперь двухрублёвых монет на столе меньше 300, и набрать 300 монет из одних двоек уже не получится. Самый бедный набор устроен так: берём все двухрублёвые монеты, сколько их есть, а недостающие добираем пятирублёвыми.

Двоек всего \(1000 - N\) штук. Значит пятёрок придётся взять

\[300 - (1000 - N) = N - 700.\]

Сумма такого набора и должна быть не меньше четверти общей суммы:

\[2(1000 - N) + 5(N - 700) \geqslant\]

\[\geqslant \frac{2000 + 3N}{4}.\]

Слева \(2000 - 2N + 5N - 3500 = 3N - 1500\). Умножаем неравенство на 4:

\[12N - 6000 \geqslant 2000 + 3N,\]\[9N \geqslant 8000,\quad N \geqslant 888\frac{8}{9},\]

то есть \(N \geqslant 889\). Подходят все \(N\) от 889 до 999 — это \(999 - 889 + 1 = 111\) значений.

Всего

\[133 + 111 = 244.\]

Ответ: а) да;   б) нет;   в) 244.