На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру десятков на 4 и уменьшают цифру единиц на 5, либо уменьшают цифру десятков на 5 и увеличивают цифру единиц на 5. Все получившиеся числа оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 224 меньше суммы получившихся?
б) Может ли количество чисел на доске равняться 30, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся и меньше 1801?
Как меняется само число
Все числа после операции остаются двузначными, значит переноса через разряд не происходит и цифры меняются независимо.
Ограничение на десятки нужно, чтобы число осталось двузначным, а ограничение на единицы — чтобы цифра не вышла за пределы от 0 до 9.
Ограничения на цифры нужны, чтобы цифра не вышла за пределы от 0 до 9, а число осталось двузначным. Отсюда сразу видно: наименьшее число, к которому применима первая операция, — это 15, а для второй — 60.
Пункт а
Пусть \(x\) — количество чисел, с которыми проделали первую операцию, \(y\) — вторую. Общее изменение суммы равно
\[35x - 45y = 224.\]
Левая часть делится на 5, а правая — нет: \(224 = 5\cdot 44 + 4\). Значит целых решений нет, и такая разность сумм невозможна.
Нет.
Пункт б
Всего чисел 30, поэтому \(y = 30 - x\), и изменение суммы равно
\[35x - 45(30 - x) =\]
\[= 35x - 1350 + 45x =\]
\[= 80x - 1350.\]
Суммы равны, значит изменение нулевое:
\[80x - 1350 = 0, \qquad 8x = 135.\]
Левая часть делится на 8, правая нет, ведь \(135\) нечётно. Целых решений нет.
Нет.
Пункт в
Из равенства сумм получаем
\[35x - 45y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 7x = 9y.\]
Разберёмся, что отсюда следует. Левая часть \(7x\) делится на 7, значит и правая часть \(9y\) делится на 7. Но 9 на 7 не делится, а числа 7 и 9 взаимно просты — у них нет общих делителей, кроме единицы. Поэтому на 7 обязано делиться само \(y\).
Точно так же правая часть делится на 9, значит и \(7x\) делится на 9, а раз 7 и 9 взаимно просты, то на 9 делится \(x\). Итак,
\[x = 9k, \ \ y = 7k, \ \ k \in \mathbb{N}.\]
Оценим исходную сумму снизу. К числам первой группы применяли первую операцию, значит у каждого из них цифра десятков не меньше 1, а цифра единиц не меньше 5 — самое маленькое такое число это 15. К числам второй группы применяли вторую операцию: там цифра десятков не меньше 6, а единиц не меньше 0, и самое маленькое число это 60.
Поэтому сумма всех чисел не меньше, чем если бы все они были минимальными:
\[15\cdot 9k + 60\cdot 7k = 135k + 420k\]\[= 555k.\]
По условию сумма меньше 1801, поэтому
\[555k < 1801,\]
\[k < \frac{1801}{555} \approx 3{,}24,\]
то есть \(k \leqslant 3\). Количество чисел равно \(x + y = 16k\), и наибольшее возможное значение — \(16\cdot 3 = 48\).
Пример на 48 чисел. Возьмём 27 чисел, равных 15, и 21 число, равное 60; здесь \(27 = 9\cdot 3\) и \(21 = 7\cdot 3\).
Первая группа — 27 чисел, равных 15. К каждому применяем первую операцию, и каждое становится числом 50:
\[27\cdot 15 = 405 \ \to\ 27\cdot 50 = 1350.\]
Вторая группа — 21 число, равное 60. К каждому применяем вторую операцию, и каждое становится числом 15:
\[21\cdot 60 = 1260 \ \to\ 21\cdot 15 = 315.\]
Складываем обе группы:
\[405 + 1260 = 1665,\]
\[1350 + 315 = 1665.\]
Суммы равны, \(1665 < 1801\), все числа двузначные до и после. Значит 48 достигается.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 48.