Пункт а

По определению логарифма

\[x^2 - 2x = 3^1 = 3.\]

Решим уравнение выделением полного квадрата:

\[x^2 - 2x + 1 = 4, \qquad (x-1)^2 = 2^2, \qquad (x-1)^2 - 2^2 = 0,\]

\[(x-1-2)(x-1+2) = 0, \qquad (x-3)(x+1) = 0, \qquad x_1 = -1,\quad x_2 = 3.\]

Проверим область допустимых значений: при обоих корнях аргумент логарифма равен \(x^2-2x = 3 > 0\), так что подходят оба.

Пункт б

Концы отрезка — логарифмы, поэтому и корни удобно записать как логарифмы по тем же основаниям.

Корень \(x = 3\). Сравним его с правым концом:

\[3 = \log_3 3^3 = \log_3 27, \qquad 27 > 5 \quad\Longrightarrow\quad \log_3 27 > \log_3 5,\]

так как логарифм по основанию \(3 > 1\) возрастает. Значит \(3 > \log_3 5\), и этот корень в отрезок не попадает.

Корень \(x = -1\). Сравним с левым концом:

\[-1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 \frac{1}{2} = \log_2 0{,}5, \qquad 0{,}5 > 0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad -1 > \log_2 0{,}2.\]

Теперь с правым:

\[-1 = \log_3 3^{-1} = \log_3\frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{3} < 5 \quad\Longrightarrow\quad -1 < \log_3 5.\]

Значит корень \(x = -1\) отрезку принадлежит.

Ответ: а) \(-1;\ 3\);   б) \(-1\).