Пункт а

Раскроем синус суммы:

\[\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin x\cos\frac{\pi}{3} + \cos x\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.\]

Квадрат косинуса заменим по основному тождеству: \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Перенесём всё влево:

\[2\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) + 2\left(1 - \sin^2 x\right) - 2 - \sqrt{6}\cos x = 0.\]

Раскрываем скобки. Заметим, что \(2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{6}\) — именно это слагаемое уничтожится с \(-\sqrt{6}\cos x\):

\[\sqrt{2}\sin x + \sqrt{6}\cos x + 2 - 2\sin^2 x - 2 - \sqrt{6}\cos x = 0,\]

\[\sqrt{2}\sin x - 2\sin^2 x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x\left(\sqrt{2} - 2\sin x\right) = 0.\]

Отсюда \(\sin x = 0\) или \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то есть

\[x = \pi k;\quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-3\pi;\ -\dfrac{3\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Отбросим полные обороты: точке \(-3\pi\) отвечает угол \(\pi\), точке \(-\dfrac{3\pi}{2}\) — угол \(\dfrac{\pi}{2}\), и идти надо против часовой стрелки.

Серия \(x = \pi k\) даёт на дуге две точки: \(-3\pi\) (левый конец отрезка) и \(-2\pi\). Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) даёт \(-\dfrac{7\pi}{4}\). Серия \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\) на дугу не попадает: её представители \(-\dfrac{5\pi}{4}\) и \(-\dfrac{13\pi}{4}\) лежат вне отрезка.

Ответ: а) \(\pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-3\pi;\ -2\pi;\ -\dfrac{7\pi}{4}\).