Пункт а

Сначала формула приведения, затем косинус двойного угла через квадрат синуса:

\[\cos(\pi + 2x) = -\cos 2x = -\left(1 - 2\sin^2 x\right) = 2\sin^2 x - 1.\]

Упростим и корни: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Подставляем — свободные члены слева сокращаются:

\[2 + 4\sin^2 x - 2 - 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} - 2\sqrt{3}\sin x,\]

\[4\sin^2 x - 2\sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{6} = 0.\]

В первых двух слагаемых вынесем \(2\sin x\), в последних двух — \(\sqrt{3}\), учитывая \(\sqrt{6} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}\):

\[2\sin x\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) + \sqrt{3}\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0, \qquad \left(2\sin x + \sqrt{3}\right)\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0.\]

Отсюда \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то есть

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от верхней точки окружности против часовой стрелки до начала отсчёта.

На дугу попадают три точки:

\[\frac{3\pi}{4}, \qquad -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}, \qquad -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}.\]

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) не подходит: \(\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}\), а \(\dfrac{9\pi}{4} > 2\pi\).

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{3\pi}{4};\ \dfrac{4\pi}{3};\ \dfrac{5\pi}{3}\).