Пункт а

Период синуса равен \(2\pi\), поэтому \(\sin(2\pi + x) = \sin x\). Кроме того, \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\). Уравнение принимает вид

\[2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = \sqrt{6}\cos x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x.\]

Слева вынесем \(\sin x\), справа — \(\sqrt{3}\cos x\), заметив, что \(\sqrt{6} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{2}\):

\[\sin x\left(2\sin x + \sqrt{2}\right) = \sqrt{3}\cos x\left(2\sin x + \sqrt{2}\right).\]

Общая скобка \(\left(2\sin x + \sqrt{2}\right)\) — это и есть ключ задачи. Переносим всё влево:

\[\left(\sin x - \sqrt{3}\cos x\right)\left(2\sin x + \sqrt{2}\right) = 0.\]

Первый множитель: \(\sin x = \sqrt{3}\cos x\). Делить на косинус можно: если бы \(\cos x = 0\), то и \(\sin x = 0\), а вместе они в ноль не обращаются. Получаем

\[\operatorname{tg} x = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Второй множитель: \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то есть

\[x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точке \(\dfrac{3\pi}{2}\) отвечает нижняя точка окружности, дальше идём против часовой стрелки три четверти оборота и попадаем в точку \(3\pi\), которой отвечает угол \(\pi\).

На дугу попадают две точки: \(x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{4}\) из второй серии и \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}\) из первой.

Серия \(x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\) даёт \(\dfrac{5\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{2}\) и \(\dfrac{13\pi}{4} > 3\pi\) — ни одна точка не подходит. Из первой серии ближайшие соседи \(\dfrac{4\pi}{3} < \dfrac{3\pi}{2}\) и \(\dfrac{10\pi}{3} > 3\pi\).

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{7\pi}{4};\ \dfrac{7\pi}{3}\).