Пункт а

Слева по основному тригонометрическому тождеству \(2 - 2\cos^2 x = 2\left(1 - \cos^2 x\right) = 2\sin^2 x\). Справа по формуле приведения \(\sin(x+\pi) = -\sin x\), поэтому \(-2\sin(x+\pi) = 2\sin x\). Уравнение принимает вид

\[2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3} + 2\sin x, \qquad 2\sin^2 x - 2\sin x + \sqrt{3}\sin x - \sqrt{3} = 0.\]

В первых двух слагаемых вынесем \(2\sin x\), в последних двух — \(\sqrt{3}\):

\[2\sin x(\sin x - 1) + \sqrt{3}(\sin x - 1) = 0, \qquad \left(2\sin x + \sqrt{3}\right)(\sin x - 1) = 0.\]

Отсюда \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\sin x = 1\), то есть

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k;\quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Уравнение \(\sin x = 1\) даёт одну серию, а не две: единицы синус достигает в единственной точке окружности.

Пункт б

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): точке \(-4\pi\) отвечает начало отсчёта, дальше против часовой стрелки.

На дугу попадают две точки:

\[-4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2} \quad\text{и}\quad -4\pi + \frac{4\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}.\]

Третья точка серий отвечает углу \(\dfrac{5\pi}{3}\), то есть числу \(-\dfrac{7\pi}{3}\) — оно правее конца отрезка.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{8\pi}{3}\).