Пункт а

Первое слагаемое: \(-2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 2x\), и по формуле приведения

\[\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.\]

Второе слагаемое: период синуса равен \(2\pi\), поэтому \(\sin(4\pi - x) = \sin(-x) = -\sin x\). Подставляем:

\[1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0.\]

Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\); разложим левую часть на множители:

\[(1 - \sin x)(2\sin x + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x = 1 \quad\text{или}\quad \sin x = -\frac{1}{2},\]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;\quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Обратите внимание: уравнение \(\sin x = 1\) даёт всего одну серию, а не две — синус достигает единицы в одной точке окружности.

Пункт б

Отрезок \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Отбросим два полных оборота: точке \(-\dfrac{7\pi}{2}\) отвечает угол \(\dfrac{\pi}{2}\), точке \(-2\pi\) — начало отсчёта.

На дугу попадают три точки:

\[-\frac{7\pi}{2} \ \text{(левый конец, он же корень серии}\ \tfrac{\pi}{2}+2\pi k), \qquad -\frac{17\pi}{6}, \qquad -\frac{13\pi}{6}.\]

Правый конец \(-2\pi\) корнем не является: там \(\sin x = 0\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{2};\ -\dfrac{17\pi}{6};\ -\dfrac{13\pi}{6}\).