Пункт а

Синус — функция нечётная, поэтому \(\sin(-x) = -\sin x\). А по основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставляем:

\[2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x - 4\left(1 - \sin^2 x\right) = \sqrt{2} - 4,\]

\[4\sin^2 x + 2\sin x - 2\sqrt{2}\sin x - \sqrt{2} = 0.\]

Квадратное уравнение относительно \(\sin x\) здесь решать не обязательно: левая часть группируется. В первых двух слагаемых вынесем \(2\sin x\), в последних двух — \(-\sqrt{2}\):

\[2\sin x\left(1 + 2\sin x\right) - \sqrt{2}\left(1 + 2\sin x\right) = 0, \qquad \left(2\sin x - \sqrt{2}\right)\left(1 + 2\sin x\right) = 0.\]

Отсюда

\[\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\text{или}\quad \sin x = -\frac{1}{2},\]

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k;\quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k;\quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\) — от нижней точки окружности против часовой стрелки на три четверти оборота.

Из четырёх серий на дугу попадают три точки: \(-\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{3\pi}{4}\). Четвёртая серия даёт \(-\dfrac{5\pi}{6}\), а это левее \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{\pi}{6};\ \dfrac{\pi}{4};\ \dfrac{3\pi}{4}\).