Пункт а

Из двух формул косинуса двойного угла выбираем ту, что выражает его через квадрат косинуса: \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\). Тогда

\[2\cos^2 x - 1 + 0{,}75 = \cos^2 x, \qquad \cos^2 x - 0{,}25 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x = \pm\frac{1}{2}.\]

Каждое из двух уравнений даёт по две серии — всего четыре:

\[x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \qquad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

На окружности это четыре точки, симметричные относительно обеих осей, и стоят они через \(\pi\). Поэтому четыре серии сворачиваются в одну запись:

\[x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): точке \(-4\pi\) отвечает начало отсчёта, дальше идём против часовой стрелки на три четверти оборота.

На дугу попадают три точки:

\[-4\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3}, \qquad -4\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}, \qquad -4\pi + \frac{4\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}.\]

Четвёртая точка серии отвечает углу \(\dfrac{5\pi}{3}\), то есть числу \(-\dfrac{7\pi}{3}\), а оно правее конца отрезка. Сами концы \(-4\pi\) и \(-\dfrac{5\pi}{2}\) корнями не являются: там косинус равен \(1\) и \(0\).

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{11\pi}{3};\ -\dfrac{10\pi}{3};\ -\dfrac{8\pi}{3}\).