Пункт а

По формуле синуса разности

\[\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = \sin x\cos\frac{\pi}{4} - \cos x\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\,(\sin x - \cos x).\]

Подставляем и возводим в квадрат:

\[\cos^2 x + \frac{1}{2}\left(\sin^2 x - 2\sin x\cos x + \cos^2 x\right) = \frac{1}{2}.\]

По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), поэтому

\[\cos^2 x + \frac{1}{2}\,(1 - 2\sin x\cos x) = \frac{1}{2}, \qquad 2\cos^2 x - 2\sin x\cos x = 0,\]

\[2\cos x\,(\cos x - \sin x) = 0.\]

Отсюда либо \(\cos x = 0\), либо \(\cos x = \sin x\). Во втором случае делить на \(\cos x\) законно: если бы он был нулём, то и синус оказался бы нулём, что невозможно. Получаем

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad\text{или}\quad \operatorname{tg} x = 1,\ \text{то есть}\ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \([5\pi;\ 6\pi]\) имеет длину \(\pi\) — это половина оборота. Уменьшим его на два полных оборота (\(4\pi\)): получится \([\pi;\ 2\pi]\), то есть нижняя половина окружности.

Каждая серия с периодом \(\pi\) отмечает на окружности две диаметрально противоположные точки. В нижнюю половину попадают по одной точке от каждой серии:

\[x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{21\pi}{4} \quad\text{и}\quad x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2}.\]

Концы отрезка \(5\pi\) и \(6\pi\) корнями не являются: там \(\sin x = 0\) и \(\cos x = \pm 1\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\ \dfrac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{21\pi}{4};\ \dfrac{11\pi}{2}\).