Пункт а

Логарифмы по одному основанию равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы, причём положительные. Достаточно потребовать положительность одного из них — второй ей равен:

\[\begin{cases} \sin 2x = \sqrt{2}\cos x, \\ \sqrt{2}\cos x > 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 2\sin x\cos x = \sqrt{2}\cos x, \\ \cos x > 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \cos x\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0, \\ \cos x > 0. \end{cases}\]

Косинус положителен, значит в ноль он не обращается, и первый множитель отпадает:

\[\begin{cases} \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \\ \cos x > 0. \end{cases}\]

Уравнение \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) даёт две серии: \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) и \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\). Отметим на окружности дугу, где \(\cos x > 0\) — это правая половина, — и обе серии.

Точка \(\dfrac{3\pi}{4}\) лежит во второй четверти, где косинус отрицателен, поэтому вторая серия не подходит. Остаётся

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от точки \(-\pi\) против часовой стрелки на три четверти оборота.

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) отмечает на окружности одну точку. На отрезок попадает её представитель при \(k = 0\), то есть \(x = \dfrac{\pi}{4}\); соседние \(\dfrac{\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4}\) и \(\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi}{4}\) лежат вне отрезка.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{\pi}{4}\).