Пункт а

По формуле синуса разности и формуле приведения

\[\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x, \qquad \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right) = \sin x.\]

Уравнение принимает вид

\[2\sin x\left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) - 3\sqrt{2}\sin x = 0,\]

\[\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x\cos x - 3\sqrt{2}\sin x = 0, \qquad \sin x\left(\sin x - \sqrt{3}\cos x - 3\sqrt{2}\right) = 0.\]

Значит выполняется одно из двух условий.

Первый случай: \(\sin x = 0\), откуда \(x = \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\).

Второй случай: \(\sin x - \sqrt{3}\cos x = 3\sqrt{2}\). Разделим обе части на 2 и свернём левую часть по формуле синуса разности:

\[\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{3\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{3}\sin x - \sin\frac{\pi}{3}\cos x = \frac{3\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2}.\]

Синус не превосходит единицы, а правая часть больше единицы: \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2} > \dfrac{3\cdot 1{,}4}{2} = 2{,}1\). Решений нет.

Остаётся \(x = \pi k,\ k\in\mathbb{Z}\).

Пункт б

Отрезок \(\left[-6\pi;\ -\dfrac{9\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точке \(-6\pi\) отвечает начало отсчёта (три полных оборота по часовой стрелке), дальше движемся против часовой стрелки.

Серия \(x = \pi k\) отмечает на окружности только две точки — начало отсчёта и диаметрально противоположную. На дугу попадают \(-6\pi\) (при \(k=-6\)) и \(-5\pi\) (при \(k=-5\)). Конец дуги \(-\dfrac{9\pi}{2}\) корнем не является: там \(\sin x = -1\).

Ответ: а) \(\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-6\pi;\ -5\pi\)