Пункт а

По формуле приведения \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), поэтому

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2}\cos x = 1.\]

Раскроем косинус разности, учитывая \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\):

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}\sin x.\]

Подставляем — слагаемые с косинусом взаимно уничтожаются:

\[\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x = 1, \qquad \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad\text{или}\quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[\dfrac{17\pi}{2};\ 10\pi\right]\) удобно уменьшить на четыре полных оборота, то есть на \(8\pi\): получится \(\left[\dfrac{\pi}{2};\ 2\pi\right]\) — три четверти оборота от верхней точки против часовой стрелки.

Серия \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\) на эту дугу не попадает: её ближайшие представители \(\dfrac{33\pi}{4} < \dfrac{17\pi}{2}\) и \(\dfrac{41\pi}{4} > 10\pi\).

Из второй серии подходит ровно один корень: \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 8\pi = \dfrac{35\pi}{4}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{35\pi}{4}\).