Пункт а

По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right) = -\cos x\). Уравнение принимает вид

\[2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) - 2\cos x = 0, \qquad \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) = \cos x.\]

Раскроем косинус разности:

\[\cos x\cos\frac{\pi}{3} + \sin x\sin\frac{\pi}{3} = \cos x, \qquad \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \cos x,\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{1}{2}\cos x.\]

Прежде чем делить на \(\cos x\), убедимся, что он не обращается в ноль. Если бы \(\cos x = 0\), то из равенства следовало бы и \(\sin x = 0\), а одновременно синус и косинус в ноль не обращаются. Значит деление законно:

\[\operatorname{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б

Отрезок \(\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\) — это три четверти оборота от начала отсчёта против часовой стрелки.

Подставляем значения \(k\):

\[k = -1:\ x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}; \qquad k = -2:\ x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}.\]

Следующий корень \(\dfrac{\pi}{6} - 3\pi = -\dfrac{17\pi}{6}\) уже левее \(-2\pi\), а предыдущий \(\dfrac{\pi}{6}\) — правее \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{11\pi}{6};\ -\dfrac{5\pi}{6}\).