Переносим всё влево

Сравнивать с числом нельзя: знак знаменателя неизвестен, и умножать на него без разбора случаев запрещено. Переносим \(0{,}5\) влево и приводим к общему знаменателю:

\[\frac{117 - 15\cdot 3^x}{9^x - 36\cdot 3^x + 243} - \frac12 \geqslant 0,\]

\[\frac{2\left(117 - 15\cdot 3^x\right) - \left(9^x - 36\cdot 3^x + 243\right)}{2\left(9^x - 36\cdot 3^x + 243\right)} \geqslant 0,\]

\[\frac{234 - 30\cdot 3^x - 9^x + 36\cdot 3^x - 243}{2\left(9^x - 36\cdot 3^x + 243\right)} \geqslant 0, \qquad \frac{-9^x + 6\cdot 3^x - 9}{9^x - 36\cdot 3^x + 243} \geqslant 0.\]

Разложение

Умножим числитель и знаменатель на \(-1\); знак неравенства при этом меняется на противоположный. В числителе сворачивается квадрат разности:

\[\frac{\left(3^x\right)^2 - 6\cdot 3^x + 9}{\left(3^x\right)^2 - 36\cdot 3^x + 243} \leqslant 0, \qquad \frac{\left(3^x - 3^1\right)^2}{\left(3^x - 3^3\right)\left(3^x - 3^2\right)} \leqslant 0.\]

Здесь знаменатель разложен как квадратный трёхчлен относительно \(3^x\) с корнями 27 и 9.

Рационализация

Основание \(3 > 1\), поэтому заменяем разности степеней разностями показателей:

\[\frac{(x-1)^2}{(x-3)(x-2)} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Числитель в чётной степени — знак при переходе через \(x = 1\) не меняется, но само значение там равно нулю и подходит. Значит \(x = 1\) входит в ответ отдельной точкой.

Ответ: \(x \in \{1\} \cup (2;\ 3)\).