Общий знаменатель

Разложим знаменатель третьей дроби. Так как \(4^x = \left(2^x\right)^2\),

\[4^x - 12\cdot 2^x + 32 = \left(2^x\right)^2 - 12\cdot 2^x + 32 = \left(2^x - 8\right)\left(2^x - 4\right).\]

Это ровно произведение знаменателей первых двух дробей, так что общий знаменатель уже найден:

\[\frac{2^x\left(2^x - 4\right) + \left(2^x + 8\right)\left(2^x - 8\right) + 66}{\left(2^x - 8\right)\left(2^x - 4\right)} \leqslant 0.\]

Числитель

Раскрываем скобки, пользуясь разностью квадратов во втором слагаемом:

\[\left(2^x\right)^2 - 4\cdot 2^x + \left(2^x\right)^2 - 64 + 66 = 2\left(2^x\right)^2 - 4\cdot 2^x + 2.\]

Двойка положительна, её можно сократить. Остаётся полный квадрат:

\[\left(2^x\right)^2 - 2\cdot 2^x + 1 = \left(2^x - 1\right)^2.\]

Неравенство принимает вид

\[\frac{\left(2^x - 2^0\right)^2}{\left(2^x - 2^3\right)\left(2^x - 2^2\right)} \leqslant 0.\]

Рационализация

Основание \(2 > 1\), поэтому каждую разность степеней заменяем разностью показателей:

\[\frac{x^2}{(x-3)(x-2)} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Числитель \(x^2\) стоит в чётной степени, поэтому при переходе через ноль знак не меняется. Но в самой точке \(x = 0\) дробь равна нулю, а ноль нестрогому неравенству удовлетворяет — значит \(x = 0\) входит в ответ отдельной точкой.

Ответ: \(x \in \{0\} \cup (2;\ 3)\).