Область допустимых значений

Оба логарифмируемых выражения положительны. Разложим трёхчлен: \(x^2-13x+42 = (x-6)(x-7)\). Тогда первое условие — это \((x-6)(x-7) > 0\). Во второй дроби нечётная степень знак не меняет, поэтому \(\dfrac{(x-7)^7}{x-6} > 0\) равносильно тому же \((x-7)(x-6) > 0\). Условия совпали:

\[x \in (-\infty;\ 6) \cup (7;\ +\infty).\]

Преобразование

Вносим семёрку под логарифм, восьмёрку записываем как \(\log_{12}12^8\) и собираем всё в один логарифм:

\[\log_{12}\frac{\left(x^2-13x+42\right)^7}{12^8\cdot\dfrac{(x-7)^7}{x-6}} \leqslant 0.\]

В числителе \(\left(x^2-13x+42\right)^7 = (x-6)^7(x-7)^7\), поэтому \((x-7)^7\) сокращается, а \((x-6)\) из знаменателя переходит наверх:

\[\log_{12}\frac{(x-6)^8}{12^8} \leqslant 0.\]

Откуда берётся модуль

Под логарифмом стоит восьмая степень: \(\dfrac{(x-6)^8}{12^8} = \left(\dfrac{x-6}{12}\right)^8\). Вынося чётную степень, обязаны взять модуль:

\[8\log_{12}\frac{|x-6|}{12} \leqslant 0, \qquad \log_{12}\frac{|x-6|}{12} \leqslant 0.\]

Модуль здесь не формальность: на области допустимых значений есть участок \(x < 6\), где \(x - 6\) отрицательно.

Снятие логарифма

Основание \(12 > 1\), поэтому логарифм не превосходит нуля ровно тогда, когда аргумент не превосходит единицы:

\[\frac{|x-6|}{12} \leqslant 1, \qquad |x-6| \leqslant 12 \quad\Longleftrightarrow\quad -12 \leqslant x - 6 \leqslant 12 \quad\Longleftrightarrow\quad -6 \leqslant x \leqslant 18.\]

Пересечение с областью допустимых значений

Ответ: \(x \in [-6;\ 6) \cup (7;\ 18]\).