Область допустимых значений

Оба логарифмируемых выражения должны быть положительны:

\[\begin{cases} x^2 - 7x + 12 > 0,\\[2pt] \dfrac{(x-3)^7}{x-4} > 0.\end{cases}\]

Разложим трёхчлен: \(x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)\). Первое условие — это \((x-3)(x-4) > 0\). Во втором дробь имеет тот же знак, что и произведение \((x-3)^7(x-4)\), а нечётная степень знак не меняет, поэтому и оно равносильно \((x-3)(x-4) > 0\). Оба условия совпали:

\[x \in (-\infty;\ 3) \cup (4;\ +\infty).\]

Преобразование

Вносим коэффициент 7 под логарифм, восьмёрку записываем как \(\log_3 3^8\) и собираем всё под один логарифм:

\[\log_3\frac{\left(x^2 - 7x + 12\right)^7}{3^8\cdot \dfrac{(x-3)^7}{x-4}} \leqslant 0.\]

В числителе \(\left(x^2-7x+12\right)^7 = (x-3)^7(x-4)^7\), поэтому множители \((x-3)^7\) сокращаются, а \((x-4)\) из знаменателя переходит наверх:

\[\log_3\frac{(x-4)^8}{3^8} \leqslant 0.\]

Откуда берётся модуль

Дробь под логарифмом — это восьмая степень: \(\dfrac{(x-4)^8}{3^8} = \left(\dfrac{x-4}{3}\right)^8\). Вынося чётную степень из-под логарифма, обязаны взять модуль основания:

\[\log_3\left(\frac{|x-4|}{3}\right)^{8} = 8\log_3\frac{|x-4|}{3} \leqslant 0, \qquad \log_3\frac{|x-4|}{3} \leqslant 0.\]

Пропустить модуль здесь нельзя: на области допустимых значений есть участок \(x < 3\), где \(x - 4\) отрицательно.

Снятие логарифма

Основание \(3 > 1\), поэтому логарифм не превосходит нуля ровно тогда, когда его аргумент не превосходит единицы:

\[\frac{|x-4|}{3} \leqslant 1, \qquad |x - 4| \leqslant 3 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 \leqslant x - 4 \leqslant 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 \leqslant x \leqslant 7.\]

Пересечение с областью допустимых значений

Ответ: \(x \in [1;\ 3) \cup (4;\ 7]\).