Замена

Запишем \(2^{x+1} = 2\cdot 2^x\) и положим \(t = 2^x\). Важно помнить: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому \(t > 0\) — это пригодится в конце.

\[\frac{2}{t + 10} \leqslant \frac{3}{2t - 1}.\]

Переносить дроби крест-накрест нельзя: знаки знаменателей неизвестны. Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю:

\[\frac{2(2t-1) - 3(t+10)}{(t+10)(2t-1)} \leqslant 0, \qquad \frac{4t - 2 - 3t - 30}{(t+10)(2t-1)} \leqslant 0, \qquad \frac{t - 32}{(t+10)(2t-1)} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Нули знаменателя \(-10\) и \(\dfrac{1}{2}\) выколоты, нуль числителя \(32\) закрашен.

\[t \in (-\infty;\ -10) \cup \left(\frac{1}{2};\ 32\right].\]

Обратная замена

Так как \(t = 2^x > 0\), первый промежуток решений не даёт: неравенство \(2^x < -10\) невозможно. Остаётся

\[\frac{1}{2} < 2^x \leqslant 32 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{-1} < 2^x \leqslant 2^5 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 < x \leqslant 5.\]

Ответ: \(x \in (-1;\ 5]\).