Числитель

Группируем слагаемые попарно и выносим общий множитель:

\[x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x-1)\left(x^2-1\right) = (x-1)^2(x+1).\]

Знаменатель

Это полный квадрат относительно \(3^{x^2}\): действительно, \(9^{x^2} = \left(3^{x^2}\right)^2\), а \(18 = 2\cdot 9\), поэтому

\[9^{x^2} - 18\cdot 3^{x^2} + 81 = \left(3^{x^2}\right)^2 - 2\cdot 3^{x^2}\cdot 9 + 9^2 = \left(3^{x^2} - 9\right)^2.\]

Неравенство принимает вид

\[\frac{(x-1)^2(x+1)}{\left(3^{x^2} - 9\right)^2} \leqslant 0.\]

Ключевое наблюдение

Знаменатель — квадрат, значит он положителен всюду, где не равен нулю. Поэтому знак дроби целиком задаётся числителем, а знаменатель лишь выкалывает точки:

\[\begin{cases} (x-1)^2(x+1) \leqslant 0,\\[2pt] \left(3^{x^2} - 9\right)^2 \neq 0. \end{cases}\]

Метод интервалов для числителя

Множитель \((x-1)^2\) стоит в чётной степени, поэтому при переходе через точку \(x = 1\) знак не меняется. Но само значение в этой точке равно нулю, а ноль неравенству \(\leqslant 0\) удовлетворяет — значит \(x = 1\) входит в ответ как отдельная точка.

\[x \in (-\infty;\ -1] \cup \{1\}.\]

Выколотые точки

\[3^{x^2} \neq 9 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 \neq 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x \neq \pm\sqrt{2}.\]

Из найденного множества выпадает только \(x = -\sqrt{2}\): точка \(+\sqrt{2}\) в него и не входила.

Ответ: \(x \in \left(-\infty;\ -\sqrt{2}\right) \cup \left(-\sqrt{2};\ -1\right] \cup \{1\}\).