Область допустимых значений

Все логарифмы должны существовать, а те, на которые делят, — не обращаться в ноль:

\[\begin{cases} x > 0, \\ \log_2 x \neq 0, \\ \log_2 x^2 \neq 0 \end{cases}\]\[\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1. \end{cases}\]

Итого \(x \in (0;1) \cup (1;+\infty)\).

Преобразование

Раскрываем логарифм частного слева и выносим показатель справа:

\[\log_2\frac{4}{x} = \log_2 4 - \log_2 x = 2 - \log_2 x,\]\[\log_2 x^2 = 2\log_2 x.\]

Здесь важно, что \(\log_2 x^2 = 2\log_2 x\) законно: по области допустимых значений \(x > 0\). Неравенство принимает вид

\[\frac{4}{\log_2 x} - 2 + \log_2 x \leqslant \frac{38}{2\log_2 x} = \frac{19}{\log_2 x}.\]

Замена

Положим \(\log_2 x = t\), причём \(t \neq 0\):

\[\frac{4}{t} - 2 + t \leqslant \frac{19}{t},\]\[\frac{4 - 2t + t^2 - 19}{t} \leqslant 0,\]\[\frac{t^2-2t-15}{t} \leqslant 0,\]\[\frac{(t+3)(t-5)}{t} \leqslant 0.\]

\[t \in (-\infty;\,-3] \cup (0;\,5].\]

Обратная замена

Возвращаемся к \(x\), пользуясь возрастанием логарифма по основанию \(2 > 1\):

\[\log_2 x \leqslant -3\quad \Longleftrightarrow\]\[0 < x \leqslant 2^{-3} = \frac{1}{8},\]

\[0 < \log_2 x \leqslant 5\quad \Longleftrightarrow\]\[1 < x \leqslant 2^5 = 32.\]

Ответ: \(x \in \left(0;\ \dfrac{1}{8}\right] \cup (1;\ 32]\).