Область допустимых значений

Логарифм должен существовать, а на него ещё и делят, поэтому

\[\begin{cases} x > 0, \\ \log_{36} x \neq 0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1, \end{cases} \qquad\text{то есть}\qquad x \in (0;1) \cup (1;+\infty).\]

Замена

Положим \(\log_{36} x = t\), причём \(t \neq 0\). Неравенство превращается в

\[(t+1)\cdot\left(\frac{1}{t}+1\right) \leqslant t.\]

Слева в скобке приводим к общему знаменателю: \(\dfrac{1}{t} + 1 = \dfrac{t+1}{t}\), поэтому левая часть равна \(\dfrac{(t+1)^2}{t}\). Переносим всё влево:

\[\frac{(t+1)^2}{t} - t \leqslant 0, \qquad \frac{t^2 + 2t + 1 - t^2}{t} \leqslant 0, \qquad \frac{2t+1}{t} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Нуль числителя \(t = -\dfrac{1}{2}\) закрашен, нуль знаменателя \(t = 0\) выколот.

\[-\frac{1}{2} \leqslant t < 0.\]

Обратная замена

Подставляем \(t = \log_{36} x\) и записываем края через логарифмы по тому же основанию: \(-\dfrac{1}{2} = \log_{36} 36^{-1/2} = \log_{36}\dfrac{1}{6}\), а \(0 = \log_{36} 1\):

\[\log_{36}\frac{1}{6} \leqslant \log_{36} x < \log_{36} 1.\]

Основание \(36 > 1\), логарифм возрастает, поэтому неравенства сохраняются и для самих чисел:

\[\frac{1}{6} \leqslant x < 1.\]

Полученный промежуток целиком лежит в области допустимых значений.

Ответ: \(x \in \left[\dfrac{1}{6};\ 1\right)\).