Область допустимых значений

Условие \(0{,}5\cdot 2^x > 0\) выполняется при всех \(x\). Знаменатель не должен обращаться в ноль:

\[0{,}5\cdot 2^x \neq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{x-1} \neq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x \neq 1.\]

Числитель

Заметим, что \(4^x = \left(2^x\right)^2\), и сделаем замену \(t = 2^x\), где \(t > 0\):

\[4^x - 3\cdot 2^x + 2 = t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2).\]

После обратной замены числитель равен \(\left(2^x - 1\right)\left(2^x - 2\right)\).

Знаменатель

\[\log_3\left(0{,}5\cdot 2^x\right) = \log_3 2^{x-1} = (x-1)\log_3 2.\]

Неравенство принимает вид

\[\frac{\left(2^x-1\right)\left(2^x-2\right)}{(x-1)\log_3 2} \geqslant 0.\]

Рационализация

Основание \(2 > 1\), поэтому знак разности степеней совпадает со знаком разности показателей: разность \(2^u - 2^v\) можно заменить на \(u - v\). Записывая \(1 = 2^0\) и \(2 = 2^1\), получаем

\[\frac{(x-0)(x-1)}{x-1} \geqslant 0, \qquad \frac{x\,(x-1)}{x-1} \geqslant 0.\]

Множитель \((x-1)\) сокращается, но точка \(x = 1\) остаётся выколотой — она обнуляет исходный знаменатель. Поэтому знак при переходе через неё не меняется.

Метод интервалов

Ответ: \(x \in [0;\ 1) \cup (1;\ +\infty)\).