Область допустимых значений

Под логарифмом должно стоять положительное число: \(8\cdot 2^x > 0\) — это верно при всех \(x\). Кроме того, знаменатель не должен обращаться в ноль:

\[\log_3\left(8\cdot 2^x\right) \neq 0\quad \Longleftrightarrow\]\[8\cdot 2^x \neq 1\quad \Longleftrightarrow\quad 2^{x+3} \neq 1\]\[\Longleftrightarrow\quad x \neq -3.\]

Числитель

Раскладываем квадратный трёхчлен на множители:

\[x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1).\]

Знаменатель

Собираем степень с одинаковым основанием и выносим показатель из-под логарифма:

\[\log_3\left(8\cdot 2^x\right) = \log_3 2^{x+3}\]\[= (x+3)\log_3 2.\]

Множитель \(\log_3 2\) — положительное число, поэтому на знак дроби он не влияет, и его можно отбросить. Неравенство равносильно

\[\frac{(x+4)(x-1)}{x+3} \geqslant 0.\]

Метод интервалов

Нули числителя \(-4\) и \(1\) закрашены: неравенство нестрогое, и в этих точках дробь равна нулю. Ноль знаменателя \(-3\) выколот.

Ответ: \(x \in [-4;\ -3) \cup [1;\ +\infty)\).