Область допустимых значений

Нужно, чтобы был определён внутренний логарифм и чтобы под внешним стояло положительное число:

\[\begin{cases} x > 0,\\ \log_5 x > 0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad x > 1.\]

Упрощение

По основному логарифмическому тождеству \(5^{\log_5\left(\log_5 x\right)} = \log_5 x\). Кроме того, переходя к основанию 5,

\[\log_{0,2} x = \frac{\log_5 x}{\log_5 0{,}2} = \frac{\log_5 x}{-1} = -\log_5 x \quad\Longrightarrow\quad \log^2_{0,2} x = \log_5^2 x.\]

Обозначим \(t = \log_5 x\); по области допустимых значений \(t > 0\). Неравенство превращается в

\[t + t^2 - 12 \leqslant 0, \qquad (t+4)(t-3) \leqslant 0.\]

Квадратное неравенство даёт \(-4 \leqslant t \leqslant 3\). Осталось пересечь это с условием \(t > 0\) из области допустимых значений:

\[0 < t \leqslant 3.\]

Обратная замена

\[0 < \log_5 x \leqslant 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 < x \leqslant 5^3 = 125.\]

Ответ: \(x \in (1;\ 125]\).