Область допустимых значений

Все выражения под логарифмами должны быть положительны:

\[\begin{cases} \dfrac{3}{x} + 2 > 0,\\[4pt] x + 3 > 0,\\[4pt] \dfrac{x+4}{x^2} > 0 \end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{2x+3}{x} > 0,\\[4pt] x > -3,\\[4pt] x > -4,\ x \neq 0. \end{cases}\]

Первое условие — дробно-рациональное неравенство \(\dfrac{2x+3}{x} > 0\). Его решение:

\[x < -\frac{3}{2} \quad\text{или}\quad x > 0.\]

Второе и третье условия задают лучи \(x > -3\) и \(x > -4\) с выколотой точкой \(x = 0\). Пересекаем все три: ограничение \(x > -3\) сильнее, чем \(x > -4\), а прокол в нуле уже учтён. Остаётся

\[x \in \left(-3;\, -\frac{3}{2}\right) \cup (0;\, +\infty).\]

Преобразование неравенства

На области допустимых значений сворачиваем левую часть по свойству разности логарифмов:

\[\log_2\left(\frac{3+2x}{x\,(x+3)}\right) \leqslant \log_2\left(\frac{x+4}{x^2}\right).\]

Основание \(2 > 1\), логарифм возрастает, поэтому знак неравенства между аргументами сохраняется:

\[\frac{3+2x}{x\,(x+3)} \leqslant \frac{x+4}{x^2}.\]

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю \(x^2(x+3)\):

\[\frac{x(3+2x) - (x+3)(x+4)}{x^2\,(x+3)} \leqslant 0,\]

\[\frac{2x^2 + 3x - x^2 - 7x - 12}{x^2\,(x+3)} \leqslant 0, \qquad \frac{x^2 - 4x - 12}{x^2\,(x+3)} \leqslant 0, \qquad \frac{(x+2)(x-6)}{x^2\,(x+3)} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Нули числителя: \(-2\) и \(6\). Нули знаменателя: \(-3\) и \(0\), причём \(0\) входит в чётной степени, поэтому при переходе через него знак не меняется.

Неравенство выполняется при

\[x < -3 \quad\text{или}\quad x \in [-2;\,0) \cup (0;\,6].\]

Пересечение с областью допустимых значений

Пересекаем найденное множество с областью допустимых значений: из промежутка \(\left(-3;\,-\dfrac{3}{2}\right)\) остаётся \(\left[-2;\,-\dfrac{3}{2}\right)\); из \((0;\,+\infty)\) остаётся \((0;\,6]\). Кусок \(x < -3\) области допустимых значений не удовлетворяет.

Ответ: \(x \in \left[-2;\, -\dfrac{3}{2}\right) \cup (0;\,6]\).