Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(O\) — центр грани \(A_1B_1C_1D_1\). Сечения параллелепипеда плоскостями \((AOB)\) и \((BOC)\) являются прямоугольниками, \(AB\) и \(BC\) — их меньшие стороны соответственно. Известно, что \(AB\) и \(BC\) в 3 раза меньше соответственных больших сторон прямоугольников.
а) Докажите, что \(ABCD\) — квадрат.
б) Найдите угол между прямой \(B_1C\) и плоскостью \((BOC)\).
а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны, поэтому плоскость \((AOB)\) пересекает плоскость верхнего основания по прямой, параллельной \(AB\); пусть она пересекает \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) в точках \(E\) и \(F\).
Плоскость \((BOC)\) пересекает верхнее основание по прямой, параллельной \(BC\); пусть она пересекает \(A_1B_1\) и \(D_1C_1\) в точках \(N\) и \(M\).
Пусть \(AB = x\), \(BC = y\); тогда по условию \(AE = 3x\) и \(BN = 3y\).
Прямые \(EF\) и \(MN\) проходят через центр \(O\) прямоугольника \(A_1B_1C_1D_1\), поэтому
\[A_1N = NB_1 = D_1M = MC_1 = \frac{x}{2}, \qquad A_1E = ED_1 = B_1F = FC_1 = \frac{y}{2}.\]
Боковые рёбра перпендикулярны основаниям, значит по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников \(AA_1E\) и \(BB_1N\)
\[AA_1^2 = (3x)^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2, \qquad BB_1^2 = (3y)^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2.\]
Рёбра \(AA_1\) и \(BB_1\) равны, поэтому
\[9x^2 - \frac{y^2}{4} = 9y^2 - \frac{x^2}{4}, \qquad \left(9 + \frac{1}{4}\right)x^2 = \left(9 + \frac{1}{4}\right)y^2,\]
откуда \(x^2 = y^2\) и \(x = y\). Значит \(AB = BC\), и прямоугольник \(ABCD\) с равными сторонами — квадрат. Что и требовалось доказать.
б) Проведём высоту \(B_1H\) в треугольнике \(BB_1N\).
Так как \(MN \parallel BC\), то \(MN \perp A_1B_1\); кроме того \(MN \perp BB_1\), поскольку \(BB_1 \perp (A_1B_1C_1)\). Значит \(MN\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \((ABB_1)\), то есть \(MN \perp (ABB_1)\), а потому \(MN \perp B_1H\).
Итак, \(B_1H \perp BN\) и \(B_1H \perp MN\), следовательно \(B_1H \perp (BOC)\) и \(H\) — проекция точки \(B_1\) на плоскость \((BOC)\). Тогда угол между прямой \(B_1C\) и плоскостью \((BOC)\) равен \(\angle B_1CH\).
Из пункта а) при \(x = y\)
\[BB_1^2 = 9x^2 - \frac{x^2}{4} = \frac{35x^2}{4}, \qquad BB_1 = \frac{\sqrt{35}\,x}{2}.\]
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:
\[B_1H = \frac{B_1N\cdot BB_1}{BN} = \frac{\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{35}\,x}{2}}{3x} = \frac{\sqrt{35}\,x}{12}.\]
По теореме Пифагора для треугольника \(BB_1C\)
\[B_1C^2 = BB_1^2 + BC^2 = \frac{35x^2}{4} + x^2 = \frac{39x^2}{4}, \qquad B_1C = \frac{\sqrt{39}\,x}{2}.\]
Тогда из прямоугольного треугольника \(B_1CH\)
\[\sin\angle B_1CH = \frac{B_1H}{B_1C} = \frac{\frac{\sqrt{35}\,x}{12}}{\frac{\sqrt{39}\,x}{2}} = \frac{\sqrt{35}}{6\sqrt{39}}.\]
Ответ: б) \(\arcsin\dfrac{\sqrt{35}}{6\sqrt{39}}\).