Дана правильная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Точка \(K\) лежит на ребре \(AB\) и делит его в отношении \(AK : KB = 3 : 1\). Точка \(L\) — середина ребра \(BC\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(K\) и \(L\) и пересекает рёбра \(B_1C_1\) и \(A_1B_1\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(B_1M : MC_1 = 3 : 1\).
а) Докажите, что \(MN \perp AB\).
б) Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.
а) Проведём в основании \(ABC\) высоту \(CH\). Призма правильная, значит основание — равносторонний треугольник, и \(CH\) является в нём также медианой.
Пусть сторона основания равна \(4x\). Тогда \(BH = HA = 2x\), а из \(AK : KB = 3 : 1\) получаем \(AK = 3x\) и \(KB = x\). Отсюда
\[KH = BH - KB = 2x - x = x = KB,\]
то есть \(K\) — середина отрезка \(HB\).
В треугольнике \(BCH\) точка \(K\) — середина \(HB\), точка \(L\) — середина \(BC\), значит \(KL\) — средняя линия. Тогда \(KL \parallel CH\), а потому \(KL \perp AB\).
Плоскость \(\alpha\) пересекает параллельные плоскости оснований по прямым \(KL\) и \(MN\), а линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны, поэтому \(KL \parallel MN\). Из \(KL \perp AB\) получаем \(MN \perp AB\). Что и требовалось доказать.
б) Проведём в верхнем основании высоту \(C_1H_1\). Так как \(MN \perp AB\) и \(AB \parallel A_1B_1\), то \(MN \perp A_1B_1\), значит \(MN \parallel C_1H_1\), и по теореме о пропорциональных отрезках
\[\frac{B_1N}{NH_1} = \frac{B_1M}{MC_1} = \frac{3}{1}.\]
Так как \(B_1H_1 = 2x\), то \(B_1N = \dfrac{3}{4}B_1H_1 = \dfrac{3x}{2}\).
Призма правильная, поэтому \(BB_1 \perp (ABC)\), в частности \(BB_1 \perp KL\). Вместе с \(KL \perp AB\) это даёт \(KL \perp (ABB_1)\), а значит \(KL \perp KN\).
Прямая \(KL\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \((ABC)\), причём \(NK \perp KL\) и \(AK \perp KL\). Значит искомый угол между плоскостями равен углу \(AKN\).
Перейдём в грань \(ABB_1A_1\). Все рёбра равны, поэтому \(AA_1 = BB_1 = 4x\). Проведём \(NT \perp AB\), тогда \(BT = B_1N = \dfrac{3x}{2}\), откуда
\[KT = BT - BK = \frac{3x}{2} - x = \frac{x}{2}.\]
Так как \(NT = BB_1 = 4x\), из прямоугольного треугольника \(KTN\) получаем
\[\operatorname{tg}\angle TKN = \frac{NT}{KT} = \frac{4x}{\frac{x}{2}} = 8 \quad\Longrightarrow\quad \angle AKN = \operatorname{arctg} 8.\]
Ответ: б) \(\operatorname{arctg} 8\)